高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 利用导数判断函数的单调性课件 新人教B版选修11.ppt

第三章 导数及其应用 3 3导数的应用3 3 1利用导数判断函数的单调性 学习目标 1 掌握函数的单调性与导数的关系 2 能利用导数研究函数的单调性 3 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 与f x2 的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如何利用导数来判断函数的单调性 答 根据导数的几何意义 可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系 如果切线的斜率大于零 则其倾斜角是锐角 函数曲线呈上升的状态 即函数单调递增 如果切线的斜率小于零 则其倾斜角是钝角 函数曲线呈下降的状态 即函数单调递减 预习导引 1 函数的单调性与导数的关系 1 在区间 a b 内由函数的导数求单调性有如下关系 增 减 2 在区间 a b 内由函数的单调性求导数有如下关系 增 减 2 一般地 如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大 说明函数在这个范围内 这时 函数的图象就比较 反之 函数的图象就比较 变化得快 平缓 陡峭 要点一利用导数判断函数的单调性 则cosx0 xcosx sinx 0 规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 单调递增 或递减 但要特别注意 f x 单调递增 或递减 则f x 或 0 故f x 在区间 0 e 上是增函数 要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间 1 f x 2x3 3x2 36x 1 解f x 6x2 6x 36由f x 0得6x2 6x 36 0 解得x2 由f x 0解得 3 x 2故f x 的增区间是 3 2 减区间是 3 2 2 f x sinx x 0 x 解f x cosx 1 因为0 x 所以cosx 1 0恒成立 故函数f x 的单调递减区间为 0 3 f x 3x2 2lnx 解函数的定义域为 0 4 f x x3 3tx 解f x 3x2 3t令f x 0 得3x2 3t 0 即x2 t 当t 0时 f x 0恒成立 且f x 在r的任何子区间上都不恒为零 函数的增区间是 规律方法求函数的单调区间的具体步骤是 1 优先确定f x 的定义域 2 计算导数f x 3 解f x 0和f x 0的区间为增区间 定义域内满足f x 0的区间为减区间 跟踪演练2求下列函数的单调区间 1 f x x2 lnx 解函数f x 的定义域为 0 2 f x x3 x2 x 解f x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 要使f x 在 2 上是单调递增的 则f x 0在x 2 时恒成立 x2 0 2x3 a 0 a 2x3在x 2 上恒成立 a 2x3 min y 2x3在 2 上是单调递增的 2x3 min 16 a 16 a的取值范围是 16 规律方法已知函数的单调性 求函数解析式中参数的取值范围 可转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间i上单调递增 或减 转化为不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 再用有关方法可求出参数的取值范围 解析y x2 2bx 2b 3 要使原函数在r上单调递减 应有y 0恒成立 4b2 4 2b 3 4 b2 2b 3 0 1 b 3 故使该函数在r上不是减函数的b的取值范围是b3 1 3 1 2 3 4 1 函数f x x lnx在 0 6 上是 a 增函数b 减函数 1 2 3 4 2 f x 是函数y f x 的导函数 若y f x 的图象如图所示 则函数y f x 的图象可能是 1 2 3 4 1 2 3 4 解析由导函数的图象可知 当x0 即函数f x 为增函数 当02时 f x 0 即函数f x 为增函数 观察选项易知d正确 答案d 1 2 3 4 3 若函数f x x3 ax2 x 6在 0 1 内单调递减 则实数a的取值范围是 a 1 b a 1c 1 d 0 1 解析 f x 3x2 2ax 1 又f x 在 0 1 内单调递减 不等式3x2 2ax 1 0在 0 1 内恒成立 f 0 0 且f 1 0 a 1 a 1 2 3 4 4 函数y x2 4x a的增区间为 减区间为 解析y 2x 4 令y 0 得x 2 令y 0 得x 2 所以y x2 4x a的增区间为 2 减区间为 2 2 2 课堂小结1 导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性 导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程