湘教版九年级数学上册3.1.2成比例线段

图形的相似 第3章 比例线段 3 1 3 1 2 成比例线段 我们知道线段既有形状又有大小 这节课我们主要研究线段之间的数量关系 并由数量关系带给我们对图形形状的思考 引入 如图3 1 在方格纸上 设小方格边长为单位1 有 ABC和 A B C 它们的顶点都在格点上 试求出线段AB BC AC A B B C A C 的长度 并计算AB与A B BC与B C AC与A C 的长度的比值 问题1 1 请问图3 1中 AB与A B BC与B C AC与A C 三对线段的长度的比值有什么关系 2 再观察图3 1中的 ABC和 A B C 说一说它们的形状有什么关系 定义1 一般地 如果选用同一长度单位量得两条线段AB A B 的长度分别为 那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A B 的比 记作或AB A B m n 如果的比值为 那么上述式子也可写成或AB A B 问题2 图3 1中的 ABC和 A B C 中AB BC A B B C 这四条线段有什么样的数量关系 ABC和 A B C 中还有其它的四条线段也具有同样的数量关系吗 定义2 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那么这四条线段叫作成比例线段 简称为比例线段 举例 例3 1 已知线段a b c d的长度分别为0 8cm 2cm 1 2cm 3cm 问a b c d是比例线段吗 解 一 即a b c d是比例线段 举例 例3 2 已知线段a b c d是比例线段 其中a b c的长度分别为0 8cm 2cm 1 2cm 求d 解 线段a b c d是比例线段 当时 代入已知数 解得d 3cm 当时 代入已知数 解得 d 0 48cm 当时 代入已知数 解得 d cm 问题3 你能画出成比例线段吗 思路 1 由例3的启发 画长度分别是1cm 2cm 3cm 6cm的四条线段 这样的四条线段是成比例线段 当然长度分别为1cm 2cm 2cm 4cm的四条线段是成比例线段 思路 2 如图 平行四边形ABCD中的四条线段是成比例线段 解 平行四边形ABCD AB CD BC AD 或 AB BC CD DA四条线段是成比例线段 当然矩形 正方形 菱形中的四条线段也分别都是成比例线段 问题4 古希腊数学家 天文学家欧多克索斯 约400 约前347 曾经提出一个问题 能否将一条线段AB分成不相等的两部分 使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比 即 使得 成立 解决方法 先把问题特殊化 设线段AB的长度为 个单位 点C为线段AB上一点 且AC的长度为x个单位 则CB的长度为 x 个单位 由等式 得 解得 舍去 因此 小结 借助方程的知识 我们知道在任意长度的线段上也存在一点将其分成不相等的两部分 其中较短的线段与较长的线段的比等于较长线段与原线段的比 而且比值也等于 定义3 如果能将一条线段AB分成不相等的两部分 使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比 那么称线段AB被点 黄金分割 点 叫作线段AB的黄金分割点 较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比 问题6 我们知道任意线段都有黄金分割点 那如何找到它呢 对于一条给定的线段AB 找出它的黄金分割点的作法如下 1 过点B作AB的垂线 并在垂线上取BC AB 2 连接AC 以点C为圆心 CB为半径画弧 交AC于点E 3 以点A为圆心 AE为半径画弧 交AB于点P 则点P为所求作的线段AB的黄金分割点 欣赏 我们知道黄金分割比是个确定数 这个数可是享誉全世界的 因为比值是它的线段围成的图形是最美丽的图形 古希腊的巴台农神庙正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比 印度泰姬陵正面高度与底部宽度之比约为黄金分割比 意大利著名画家达 芬奇的名作 蒙娜丽莎 中 人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比 习题3 1 1 求下列各式中x的值 1 5 7 15 x 2 144 5 x 25 3 52 x 26 8 4 x 13 65 78 答 1 x 21 2 x 720 3 x 16 4 x 2 已知a 是比例线段 1 若a 2 b 3 c 4 求d 2 若a 1 5 c 2 5 d 4 5 求b 3 若a 1 1 b 2 2 d 4 4 求c 答 1 d 6 答 2 b 2 7 答 3 c 2 2 3 甲 乙两地的实际距离为680km 在某地图上量得这两地的距离为17cm 求该地图的比例尺 答 因为680km 68000000cm 所以该地图的比例尺 17 68000000 1 4000000 4 如图 节目主持人在主持节目时 站在舞台的黄金分割点处最自然得体 若舞台AB长为20m 则主持人站在离A点多远处最自然得体 结果精确到0 1m 解 设AB的黄金分割点为C 则AC 0 618AB或BC 0 618AB 解得AC 12 5m或AC 7 6m 答 所以主持人站在离A点12 5m或7 6m远处最自然得体 1 请问同学们这节课你学习了关于线段的什么知识 线段之间的一种数量关系 四条线段成比例 并且感受到成比例线段围成的图形在形状上也有美妙的关系 认识了一个最特别的数 比值是它的线段围成的图形最美丽 2 请