晶体学基础2.doc

14晶体的对称性我们知道，晶体是由原子或原子团在三维空间中规则地重复排列而成的固体。若对晶体实施某种操作，则会使晶体各原子的位置发生变化。人们定义，当操作使各原子的位置发生变换，若变换后的晶体状态与变换前的状态相同，则称这个操作为对称操作。对称操作所依赖的几何要素叫对称元素。晶体的对称性可分为宏观对称性和微观对称性。宏观对称性也就是布喇菲原胞的对称性，它由宏观对称性（或称点对称操作）来描述；微观对称性指的是无限在晶体的空间对称性，它由点对称操作和平移对称操作的组合来共同描述。下面我们来介绍点对称操作。1. 4. 1 点对称操作图1-4-1 不可能使五边形互相连接充满充满整个平面在一般的对称操作中，空间有许多点在动，且操作前后状态是一样的，在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作称为点对称操作。（1） n度旋转对称轴大家知道，一正方形绕中心且与成垂直的轴旋转后，能够自身重合，这种轴称为旋转轴。如果晶体绕某一旋转轴旋转后，仍能自身重合，则称其为n度旋转对称轴。利用晶体周期性的限制，可以证明这里n值只能取1，2，3，4，6共5个整数，也就是说不具有5度或6度以上的旋转对称轴，如图1-4-1所示，不难设想，如果晶体中有n=5的对称轴，则垂直于轴的平面上格点的分布至少应是五边形，但这些五边形不可能相互拼接而充满整个平面，从而不能保证晶格的周期性。现在，已经发现一些固体具有5次旋转对称轴，这些具有5次或6次以上旋转对称轴，但又不具备周期性结构的固体称为准晶体。（2） 中心反演中心反演作用于空间某一位置（x,y,z）后，使之变换为（-x,-y,-z），。常用i表示中心反演操作。如旋转对称轴的对称元素是一条直线一样，中心反演的对称元素是一个点，中心反演又称为对称心。（3） n度旋转反演轴晶体绕某一固定轴旋转后，再经过中心反演，晶体能自身重合，则称该轴为n度旋转反演轴，通常以来表示n度旋转反演轴，当然这里n只能取1，2，3，4，6，即不能有5度或6度以上的旋转反演轴。具有n度旋转反演轴的晶体不一定具有n度旋转轴和中心反演的对称操作。如图1-4-2分析，就是反演中心i；的对称元素是垂直于转轴的对称面，通常又称为镜面操作，常以m或为表示；的对称性与3度旋转轴加上对称心的总效果是一样的，不是一种独立的对称操作；同样不是一种独立的对称操作的是，其对称性是由3度旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样；这里，是一种独立的对称操作，它不能由其他的操作组合得到。所以，晶体的点对称操作中只有8种独立的基本操作：1，2，3，4，6，i,m,。下面我们介绍一下立方体的对称元素：它具有3个互相垂直的4度旋转轴，4个3度轴（即体对角线），6个2度轴（即面对角线），3个与4度轴垂直的对称面，6个与2度轴垂直的对称面，以及1个对称心。图1-4-3中只给出了三种对称轴。这些基本对称操作的组合能构成32种点群，每一种点群对应于晶体的一种宏观对称性。1 平移对称操作平移对称操作分为两类：一类是平移格矢的整数倍，这类操作与点对称操作组合可构成73种点式空间群（或称为简单空间群）；另一类是平称格矢的非整数倍，这类平移与旋转和镜像组合产生两类新的操作，n度螺旋轴和滑移反映面。这两种操作与点对称操作组合将得到157种非点式空间群。平移操作和点对称操作的组合共给出230种空间群。每种空间群唯一地对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有230种。测定空间群，推断原子的具体排列方式是晶体结构分析的主要内容。图1-4-3 立方体的旋转轴 2度 3度 4度142晶系与布喇菲原胞abc图1-4-4 基矢与基矢的夹角按照宏观对称性的不同，可对晶体的空间点阵进行适应分类。晶体的空间点阵又称为布喇菲格子，可用既反映晶格周期性，又反映晶体对称性的晶胞（或称布喇菲原胞）来分析。这类晶胞不一定是体积最小的重复单元，一般结点不仅在顶点，而且可以在体心上以及面心上。而且晶胞的基矢一般沿对称轴或对称面的法向，构成晶体的坐标系。基矢的方向就是坐标轴的方向，称为晶轴。基矢常用a,b,c来表示，基矢间的夹角为，即a与b间的夹角为，b与c之间的夹角为，而c与a之间的夹角为，如图1-4-4所示。结晶学中把a, b, c满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。根据描述晶胞的坐标系的性质，空间点阵可分为七大晶系，即三斜，单斜，正交，正方（四角），立方，三角和六角晶系。每一类晶系又包括一种或数种特征性的布喇菲格子。七大晶系共有14种布喇菲格子。表1.2列出七大晶系的基本特征。图1-4-5给出14种布喇菲格子的示意图。表1.2 七个晶系的特征晶系特征对称元素晶胞的特征三斜没有对称轴或只有一个反演轴单斜一个2度轴而无高度轴正交三个互相垂直的2度轴三方一个3度轴四方一个4度轴六方一个6度轴立方四个3度轴图1-4-5 14种布拉伐格子示意图(1)简单三斜(2)简单单斜(3)底心三斜(4) 简单正交(5)底心正交,(6)体心正交(7)面心正交(8)六角(9)三角(10)简单四方(11)体心四方(12)简单立方(13)本心立方(14)面心立方15倒易点阵151倒格子基矢定义晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵由3个初基原胞的基矢a1,a2,a3来描述。由这套基矢可以定义出3个新矢量： （1-5-1）式（1-5-1）称为倒易点阵（或倒格子）的基矢，其中，是晶体原胞的体积。固体物理学中把由a1,a2,a33个基矢描述的空间点阵称为正点阵（或正格子），而由基矢b1,b2,b3描述的空间点阵称为倒易点阵（或倒格子）。每个正格子都有一个倒格子与之相对应，正格子的量纲为长度，倒格子的量纲为长度-1，与波矢的量纲相同。倒格子空间实