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谈解法与想法08浙江高考数学试题的启示 丁沛华08 10 17 杭州绿城育华学校 听得懂 做不来 学生对数学课的普遍反映 不少中等以上的学生也如此 问题在哪里 应该怎么办 我认为对一部分成绩中等或中等以上的同学 应该指导他们把解法上升为想法 学会用想法去激活他们已经在大脑中储存的解法 概念与原理 解题方法 想法 教师传授 学生练习 经验 关于想法 刘爱伦教授主编 上海教育出版社出版的 思维心理学 中也用到了这个词 书中关于信息加工方法的三个基本假设 第一 思维可描述为一系列认识状态或想法状态 通过加工活动可对这些状态作出区别 一种加工活动决定了一种状态转换成下一种状态 第二 每一种状态都可以用数量有限的工作记忆结构的激活来描述 代表最初输入到加工活动中的想法 就产生下一个状态 第三 除了在很少条件下例外 一般地说 通过基本的加工操作 可将一种认识状态转换成另一种认识状态 按照这些假设 可以把思维过程想象为从一个状态到另一个状态的转换 是在潜在的认识状态构成的 问题空间 中搜索出一条独特的途径的过程 思维 想法 状态变化 激活内存 搜索合适的途径 描述为 知识技能方法等 决定加工过程 产生 对照目标 概念与原理 解题方法 想法 教师传授 学生练习 经验 技能 教师引导 学生感悟 术 理论 能力 道 关于道道是中国传统文化中的一个非常重要的概念 春秋时期的思想家 道家的创始人老子 在 道德经 即 老子 的开篇第一句话就说 道可道也 非恒道也 这里的第一个 道 是名词 指的是宇宙的本原和实质 引申为原理 原则 真理 规律等 第二个 道 是动词 指解说 表述的意思 相当于 说得出 整句的意思为 可以用言语表述的 道 它就不是永恒的道 因此 借用 道 的思想 我所指的想法 可以表述为 思维 设想 理解 归纳 感悟等的总和 想法既具有普适性 更具有强烈的个体性 有些是可以言传的 有些是需要意会的 想法的普适性说明是可以教的 想法的个体性说明难以完全用语言传授 需要教师引导学生产生个性化的感悟 1 解法扎根于概念与原理 2 解法应上升为想法 3 由想法产生解法 根据上述的思考 得出的结论是 怎么想比怎么做更重要 例1浙江08高考第14题 则球O的体积等 如图 已知球O 球面上四点 例2四棱锥 是正方形 侧棱 且 求 与面PBC所成的角的大小 粗浅的理解 繁复的过程 深刻的理解 简洁的过程 例3四面体中两组对棱的长分别为5 4 则第三组对棱长的取值范围为 下图中AB CD 5 AC BD 4 AD BC x 下面再以数列和不等式为例作一点说明 例4证明不等式 想法一 是相等的把和求出再证不等式呢 还是放缩后求和再证 而即使放缩后 也要使求和能够成功 那么相等的求和有哪些呢 这作为基础必须要解决的 等差求和 等比求和 错位相减 裂项求和 倒序求和等 补例设 试比较M N的大小 注意 想法把原本储存在大脑中的基础知识激活 思考那种可以相等的求和 实际哪一种都不行 只能转而求其次 不等放缩后求和并证不等式 想法二 怎么放缩 而且放缩后要可以求和 回到题目中观察 利用 不等式为 想法三 思路正确 结果是放得过大了 什么原因 实际上原来的分母 被缩小成 想法四 能不能放大 裂项的要求不变 而不放大得太多 分母缩小太多 有了 于是 这样分母只缩小1 第 1 题 解略 得到 于是 只要证明 如果 那么 裂项成功 但不能相消 因为裂出来是 此时分母间隔1 不行 如果间隔2 可以相消 再来 此时 左边为 放过头了 有没有调整的办法 有 放大的过程往后移一点 越是前面的项 放大时增大得越多 知道这个道理 我们调整的办法可以从第二项开始放 得到 启示 从方法上来说 放缩过头的调整可以 一是使分母不要放得太过 二是放的过程适当后移 想法就产生了 过头是可以调整的 第 1 2 小题略 但结论注意 数列是单调递增的 第 3 小题又是数列和不等式 想法 是等的求和还是不等的求和 可以得出应该不等的求和 怎么放 朝等差 等比 裂项 错位 倒序等哪个方向求和 注意到分母的次数一点点高起来 且每一个括号一点点大起来 可以朝等比数列放 解析几何中的例子 第 1 题很简单 显然是以P为焦点 已知直线为准线的抛物线 第 2 题中 M在未知的定直线上动时 怎么用 我的想法是 线段长度的比 既可以用几何思路 也可能是代数思路 几何的想法是能不能把它转化为其他线段的比 使问题简便 代数的想法是能否变成坐标式 甚至是两者兼而有之 类似的应该上升为想法的情况非常多 如 绝对值 参数 小区间的问题 比较典型的是07浙江文科第22题 又如 在学了三角函数中的诱导公式后 是否有意识的引导学生产生这样的想法 要改变三角函数的名 角或符号 只要用诱导公式 再比如 函数的定义域是否仅仅停留在给出解析式时的求定义域 到了08浙江数学绝对值 参数 小区间的问题又来了 这几乎是必然了 结论 只有方法 只能对号入座 对得上号的 会做 对不上号的不会做 于是很多情况下就成为 听得懂 做不来 同样 如果只有想法 没有扎实的基础 也得不到正确的结果 只有把