椭圆及其标准方程(第一课时)

课题 椭圆及其标准方程 高二数学组 生活中的椭圆 一 认识椭圆 尝试实验 形成概念 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 F1 F2 M 观察做图过程 1 绳长应当大于F1 F2之间的距离 2 由于绳长固定 所以M到两个定点的距离和也固定 动手画 二 概念透析 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 1 椭圆的定义 如果设轨迹上任一点M到两定点F1 F2的距离和为常数2a 两定点之间的距离为2c 则椭圆定义还可以用集合语言表示为 P M MF1 MF2 2a 2a 2c 1 平面曲线 2 到两定点F1 F2的距离和等于定长 3 定长 F1F2 反思 椭圆上的点要满足怎样的几何条件 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 这两个定点F1 F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做焦距 注 定长所成曲线是椭圆定长所成曲线是线段定长无法构成图形 理解定义的内涵和外延 一定要准确把握奥 O X Y F1 F2 M 三 椭圆方程的建立 步骤一 建立直角坐标系 步骤二 设动点坐标 步骤三 列方程 步骤四 化简方程 求曲线方程的步骤 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 想一想 下面怎样化简 由椭圆的定义 代入坐标 方程推导 则方程可化为 观察左图 你能从中找出表示c a的线段吗 即 a2 c2有什么几何意义 焦点在y轴 焦点在x轴 2 椭圆的标准方程 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 注意理解以下几点 在椭圆的两种标准方程中 都有 的要求 在椭圆的两种标准方程中 由于 所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上 椭圆的三个参数 之间的关系是 其中 大小不确定 分母哪个大 焦点就在哪个坐标轴上 反之亦然 注意 四 尝试应用 1 下列方程哪些表示的是椭圆 如果是 判断它的焦点在哪个坐标轴上 变式一 将上题焦点改为 0 4 0 4 结果如何 变式二 将上题改为两个焦点的距离为8 椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 结果如何 已知两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 当焦点在X轴时 方程为 当焦点在Y轴时 方程为 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点P 解 因为椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 c 2 且c2 a2 b2 4 a2 b2 又 椭圆经过点P 联立 可求得 椭圆的标准方程为 法一 五 典例分析 法二 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程的步骤 1 首先要判断焦点位置 设出标准方程 先定位 2 根据椭圆定义或待定系数法求a b 后定量 六 课堂练习 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在x轴 2 a 5 c 2 焦点在y轴上 2 椭圆 的焦距是 焦点坐标为 的弦 则 的周长为 若CD为过左焦点 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 a2