08函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1 若对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 则称f x 为偶函数 一 函数的奇偶性 2 若对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 则称f x 为奇函数 二 简单性质 研究半个区间 1 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之成立 2 单调性 3 奇函数 f 0 0 0在定义域中 偶函数 f x f x 3 若函数f x 不具有上述性质 则称f x 不具有奇偶性 若函数同时具有上述两条性质 则f x 既是奇函数 又是偶函数 例 函数f x 0 x D D关于原点对称 是既奇又偶函数 三 函数奇偶性的判定方法 1 根据定义判定 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称 则函数是非奇非偶函数 若对称 再判定f x f x 或f x f x 2 利用定理 借助函数的图象判定 3 性质法判定 在公共定义域内 两奇函数之积 商 为偶函数 两偶函数之积 商 也为偶函数 一奇一偶函数之积 商 为奇函数 注意取商时分母不为零 四 函数的周期性 如果存在一个非零常数T 使得对于函数定义域内的任意x 都有f x T f x 则称函数f x 为周期函数 T为函数的一个周期 若f x 的周期中 存在一个最小的正数 则称它为函数的最小正周期 五 典型例题 1 判断下列函数的奇偶性 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 奇函数 偶函数 2 试将函数y 2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和 f 1 g 0 g 2 偶函数 奇函数 f 4a x f x 5 已知定义在R上的函数y f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 是偶函数 当x 0 2 时 f x 2x 1 求x 4 0 时f x 的表达式 6 若对任意的x R 都有f a x f a x 且f b x f b x 其中b a 则f x 是以2 b a 为周期的周期函数 8 已知f x 是定义在R上的不恒为零的函数 且对于任意的a b R都满足 f ab af b bf a 1 求f 0 f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性 并证明你的结论 9 已知f x 是定义在R上的函数 且对于任意的a b R都满足 f a b f a b 2f a f b 且f 0 0 1 求证 f x 是偶函数 2 若存在正数m 使f m 0 求满足f x T f x 的一个T T 0 的值 0 0 f 1 0 f b f b 奇函数 1 f 0 1 f b f b 2 考虑f a m f a 2m f a 4m 7 若对任意的x R 都有f x f 2a x 且f x f 2b x 2c 其中a b 则f x 是以4 a b 为周期的周期函数 课堂练习 D B C A 5 奇函数f x 在 3 7 上是增函数 在 3 6 上的最大值为8 最小值为 1 则2f 6 f 3 的值为 A 5B 5C 13D 15 6 奇函数f x 在 1 0 上是减函数 是锐角三角形的两个内角 且 则下列不等式中正确的是 A f cos f cos B f sin f sin C f cos f cos D f sin f cos D D 7 已知f x 的图象关于直线x a对称 又关于点 m n 对称 其中m a 求证f x 是以4 a m 为周期的周期函数 证 由已知 f x f 2a x 且f x f 2m x 2n f 4 a m x f 2a 4m 2a x f 4m 2a x f 2m 2a