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2.3.1 数学归纳法一、选择题1.设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析f(n)f(n1)f(n1)f(n)，选D.答案D2.用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3解析当n1时，an1a2，左边应为1aa2，故选C.答案C3.用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)时，从“k到k1”左边需增乘的代数式是()A.2k1 B.C.2(2k1) D.解析nk时，(k1)(k2)(kk)2k13(2n1).nk1时，(k2)(kk)(k1k)(k1k1).增乘的代数式是2(2k1)，选C.答案C二、填空题 4.数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_.解析a11，a2a134，a3459，a49716，猜想ann2.答案ann25.记凸k边形对角线的条数为f(k)(k4)，那么由k到k1时，对角线条数增加了_条.解析f(k)k(k3)，f(k1)(k1)(k2)，f(k1)f(k)k1.答案k16.在数列an中，a1，且Snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4猜想an的表达式是_.解析a22(221)a2，a2，a33(231)a3，a3，a44(241)a4，a4，猜想an.答案an三、解答题7.求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1) (nN).证明(1)当n1时，等式左边2，等式右边212，等式成立.(2)假设nk(kN )时，等式成立. 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立.那么当nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1.即nk1时等式成立. 由(1)、(2)可知对任意nN，等式都成立.8.求证：(n2，nN).证明(1)当n2时，左边，不等式成立.(2)假设nk (k2，kN)时命题成立，即，则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立.9.在数列bn中，b12，bn1(nN).求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明.解由b12，bn1，得b2，b3.经比较有b1，b2，b3.猜想bn(nN).下面利用数学归纳法证明.(1)当n1时，因b12，所以b1.(2)假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即bk.bk0.当nk1时，bk10.bk1，也就是说，当nk1时，结论也成立.根据(1)、(2)，知bn(nN).10.用数学归纳法证明：当nN时，(123n)n2.证明(1)当n1时，左边1，右边121，左边右边，不等式成立.(2)假设nk (k1，kN)时不等式成立，即(123k)k2，则当nk1时，左边(12k)(k1)(123k)(123k)(k1)1k2(k1)1k21(k1)，
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