云南省保山市第一中学高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课件 新人教版必修1.ppt

第三章函数的应用3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 结合二次函数的图象 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 从而了解函数的零点与方程根的关系 韦达 viete francois seigneurdelabigotiere 是法国十六世纪最有影响的数学家之一 第一个引进系统的代数符号 并对方程论做了改进 他的 解析方法入门 一书 1591年 集中了他以前在代数方面的大成 使代数学真正成为数学中的一个优秀分支 他对方程论的贡献是在 论方程的整理和修正 一书中提出了二次 三次和四次方程的解 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研究的重大进步 韦达讨论了方程根的各种有理变换 发现了方程根与系数之间的关系 所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为 韦达定理 探究 下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系 与 与 与 引申 二次函数的图象和相应一元二次方程的根有何关系 方程的根 两不相等实数根 一个交点 没有交点 二次函数的图象与x轴的交点 两个交点 两相等实数根 没有实数根 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫做函数y f x 的零点 函数的零点 思考 函数的图象与轴的交点和相应的方程的根有何关系 x 结论 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 方程的根是函数的图象与轴的交点的横坐标 由此可知 求方程的实数根 就是求函数的零点 对于不能用公式法求根的方程来说 可以将它与函数联系起来 利用函数的性质找出零点 从而求出方程的根 注意 函数零点既是对应方程的根 又是函数图象与x轴交点的横坐标 零点对于函数而言 根对于方程而言 探究 如何求函数的零点 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 x y 观察二次函数f x x2 2x 3的图象 在区间 2 1 上有零点 f 2 f 1 f 2 f 1 0 或 在区间 2 4 上有零点 f 2 f 4 0 或 1 4 5 3 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 y 思考 观察图象填空 在怎样的条件下 函数在区间上存在零点 有 有 有 在区间 a b 上f a f b 0 或 在区间 a b 上 有 无 零点 在区间 b c 上f b f c 0 或 在区间 b c 上 有 无 零点 在区间 c d 上f c f d 0 或 在区间 c d 上 有 无 零点 结论 a b c 例1判断正误 若不正确 请使用函数图象举出反例 1 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内有且仅有一个零点 2 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 3 已知函数y f x 在区间 a b 满足f a f b 0 则f x 在区间 a b 内存在零点 解 1 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内有且仅有一个零点 如图 函数y f x 在区间 a b 上有3个零点 在区间 a b 内有且仅有一个零点 的说法是错误的 2 已知函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 则f x 在区间 a b 内没有零点 可知 函数y f x 在区间 a b 上连续 且f a f b 0 但f x 在区间 a b 内有零点 故论断不正确 如图 3 已知函数y f x 在区间 a b 满足f a f b 0 则f x 在区间 a b 内存在零点 虽然函数y f x 在区间 a b 满足f a f b 0 但是图象不是连续的曲线 则f x 在区间 a b 内不存在零点 如图 练习2 若函数y 5x2 7x 1在区间 a b 上的图象是连续不断的曲线 且函数y 5x2 7x 1在 a b 内有零点 则f a f b 的值 a 大于0b 小于0c 无法判断d 等于零 练习1 函数f x x3 x 1在下列哪个区间有零点 a 2 1 b 0 1 c 1 2 d 2 3 c b 由表可知f 2 0 由于函数f x 在定义域 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 用计算器或计算机列出x f x 的对应值表 例2 求函数f x lnx 2x 6的零点的个数 并确定零点所在的区间 n n 1 n z 解 4 1 3 1 1 3 4 5 6 7 8 9 9 12 1 14 2 方法1 f x lnx 2x 6 从而f 2 f 3 0 函数f x 在区间 2 3 内有零点 y 2x 6 y lnx 即求方程lnx 2x 6 0的根的个数 即求lnx 6 2x的根的个数 即判断函数y lnx与函数y 6 2x的交点个数 如图可知 只有一个交点 即方程只有一根 方法2 练习 求方程2 x x的根的个数 并确定根所在的区间 n n 1 n z 解 求方程的根的个数 即求方程的根