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文档简介

1 格林公式 2格林公式及其应用 高斯定理 体积分化成曲面积分 设是以足够光滑的曲面为边界的有界区域 可以是多连通区域 在上具有连续偏导数的任意函数 则成立 注 广义牛顿 莱布尼茨公式可推导出一维牛顿 莱布尼茨公式 高斯公式 推论1 广义牛顿 莱布尼茨公式 推论2 高维分部积分公式 格林第一公式 互换位置 可得 格林第二公式 上面两式相减 可得格林第二公式 下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本性质 考察函数 调和函数的积分表达式 其中表示中以为球心 以为半径的小球 边界记 则 利用格林公式 因此 利用积分中值定理 其中是函数在球面上的平均值 类似地 有 球面平均值 因此 在上式中令 就得到泊松方程解的基本积分公式 其中 特别序员时 调和函数一般积分公式 联系引力位势 定理2 1设函数在以曲面为边界的区域内调和 在上有连续一阶偏导数 则 注诺伊曼内问题有解的必要条件是 注有解的必要条件是 注二维拉普拉斯方程的基本解为 相应的调和函数积分公式为 联系赫尔德条件 2 平均值定理 定理2 2 平均值公式 设函数在某区域内调和 是中的任一点 则对以为球心 为半径完全落在区域的内部的球面 成立 由定理2 1知 于是 注如果 则定理可包含与边界相切的球面 另一方面 数学角度证明 3 极值原理 物理背景 稳定温度场在动态平衡下 温度分布在内部不可能有最高点或最低点 以为球心 任意半径作球 使它完全落在区域 中 记的球面为 在上必成立 事实 函数的连续性 必可找到此点在球面上的一个邻域 上 如果在球面上上某一点其值小于 则由 在此邻域中 因此在上的积分平均值 传递性 从而在整个球上 现在证明对中的所有点都恒等于常数 由的任意性 就得到在整个区域上 4 第一边值问题解的唯一性及稳定性 即 由定理2 3的推论1知 因此 在上各点有 即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件 4 第一边值问题解的唯一性及稳定性 则
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