高考数学一轮复习 第15章 第80讲 矩阵的运算及矩阵的特征值、特征向量课件 理.ppt_第1页
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第十五章 选考内容 矩阵的运算及矩阵的特征值 特征向量 第80讲 例1 已知矩阵a 1 求逆矩阵a 1 2 若矩阵x满足ax 试求矩阵x 二阶矩阵的逆矩阵 解析 设a 1 则 所以 解得 所以a 1 2 x 点评 求矩阵的逆矩阵可以利用逆矩阵的定义 结合矩阵的乘法规则 建立关系式求出待求量即可 变式练习1 二阶矩阵m对应的变换将点 1 1 与 2 1 分别变换成点 1 1 与 0 2 1 求矩阵m的逆矩阵m 1 2 设直线l在变换m作用下得到了直线m 2x y 4 求l的方程 解析 1 设m 则有 所以 且 解得 所以m 从而m 1 2 因为且直线m 2x y 4 所以2 x 2y 3x 4y 4 即x 4 0 这就是直线l的方程 例2 已知矩阵a 求矩阵a的特征值及其对应的一个特征向量 二阶矩阵的特征值与特征向量 解析 矩阵a的特征多项式为 令f 0 得矩阵a的特征值 1 1 2 6 当 1 1时 由线性方程组的一个非零解 解析 因此 1 1对应的特征向量为 1 当 2 6时 同理可得其对应的特征向量为 2 点评 例3 已知矩阵m 试计算m100 多次变换的计算 解析 矩阵m的特征多项式为f 3 2 30 2 5 24 8 3 令f 0 得m的特征值为 1 8 2 3 它们对应的特征向量分别为 1 2 令 m 1 n 2 所以m 1 n 3 即 1 3 2 所以m100 m100 1 3 2 m100 1 3m100 2 点评 利用特征值和特征向量的知识 可以方便地计算多次变换的结果 变式练习3 给定矩阵m 向量b 1 求m的特征值对应的特征向量e1 e2 2 确定实数m n 使向量b me1 ne2 3 计算 m2010b 解析 1 矩阵m的特征多项式为 所以 1 3 2 1 它们对应的一个特征向量分别为e1 e2 2 因为b me1 ne2 故将具体数据代入得m 4 n 3 所以b 4e1 3e2 3 m2010b m2010 4e1 3e2 4 m2010e1 3 m2010e2 3 已知 abc a 1 0 b 3 0 c 2 1 对它先作关于x轴的反射变换 再将所得图形绕原点逆时针旋转90 1 分别求两次变换所对应的矩阵m1 m2 2 求点c在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标 解析 1 m1 m2 2 因为m m2m1 所以 故点c在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是 1 2 4 设矩阵a a 0 1 求a2 a3 2 猜想an n n 3 证明 an n n 的特征值是与n无关的常数 并求出此常数 1
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