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成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修2 2 变化率与导数 第二章 5简单复合函数的求导法则 第二章 1 能利用公式y x f x f x 求简单复合函数的导数 2 能够准确分出函数的复合关系 本节重点 复合函数的求导法则 本节难点 准确分出函数的复合关系 一般地 对于两个函数y f u 和u x 给定x的一个值 就得到了u的值 进而确定了y的值 这样y可以表示成x的函数 我们称这个函数为函数y f u 和u x 的复合函数 记作y f x 其中u为中间变量 复合函数的概念 复合函数y f x 的导数为y x f x f u x 说明 y x表示y对x的导数 复合函数的求导法则 1 求复合函数导数的步骤求复合函数的导数 一般按以下三个步骤进行 1 适当选定中间变量 正确分解复合关系 即说明函数关系y f u u x 2 分步求导 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导 要特别注意中间变量对自变量求导 即先求f u 再求 x 3 计算f u x 并把中间变量代回原自变量的函数 整个过程可简记为分解 求导 回代 2 求复合函数的导数时 首先要分析复合函数的结构 再从最外层开始由外及里逐层求导 做到不重不漏 3 求复合函数的导数要处理好以下环节 中间变量的选择应是基本函数结构 关键是正确分析函数和复合层次 一般是从最外层开始 由外及里 一层层地求导 善于把一部分表达式作为一个整体 最后要把中间变量换成自变量的函数 答案 a 2 函数y e2x 4在点x 2处的切线方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c ex y 2e 1 0d ex y 2e 1 0 答案 a 解析 y 2 e2x 4 则当x 2时 y 2 e0 2 斜率为2 又当x 2时 y e2 2 4 1 切点为 2 1 切线方程为2x y 3 0 3 函数f x 2x 1 5 则f 0 的值为 答案 10 解析 f x 5 2x 1 4 2x 1 10 2x 1 4 f 0 10 分析 求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的 然后再按复合函数的求导法则求导 复合函数的求导 点评 复合函数y f x 的导数为y x f x f u x 即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数 乘以中间变量对自变量的导数 掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复
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