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综合复习专题讲练二 导数在研究函数中的应用 导数是研究函数性质的一个很重要的工具 它不仅可以用来确定函数的单调性 值域 极值最值等 还可通过研究函数性质画出函数图象 数形结合来解决相关问题 因此在历年高考中都是考查的重点 不仅有选择 填空题 多考查导数的基本应用 如 切线问题 单调性判定 极值 最值的求解等 而且还会出现在压轴题上 考查导数的综合应用 1 利用导数证明不等式 就是把不等式恒成立的问题 通过构造函数 转化为利用导数求函数最值的问题 应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求 构造出相应的函数关系式 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图象与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 1 研究函数的有关性质 首先要求出函数的定义域 2 f x0 0 是 函数f x 在x0取到极值 的必要条件 3 已知函数y f x 单调递增 或递减 求其中参数范围时 应注意利用f x 0 或f x 0 不可忘带等号 最后可对取等号时的情况进行检验 题型一利用导数的几何意义解决切线问题设函数y x2 2x 2的图象为c1 函数y x2 ax b的图象为c2 已知过c1与c2的一个交点的两切线互相垂直 1 求a b之间的关系 2 求ab的最大值 归纳提升 本题审题包括两方面内容 题目信息的挖掘 整合以及解题方法的选择 本题切入点是两条曲线有交点p x0 y0 交点处的切线互相垂直 通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程 题型二利用导数解决与单调性有关问题已知a r 函数f x x2 ax ex x r e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 归纳提升 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数f x 的定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若已知f x 的单调性 则转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题求解 归纳提升 1 对含参函数的极值 要进行讨论 注意f x0 0只是f x 在x0处取到极值的必要条件 2 利用函数的极值 最值 可以解决一些不等式的证明 函数零点个数 恒成立问题等 归纳提升 解高
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