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第四节二项式定理及其应用 第十章 求二项展开式中特定的项 变式探究 1 1 若在 ax 1 6的展开式中x4的系数为240 则正实数a为 a 2b 3c 5d 7 2 0 2 设n 6sinxdx 则二项式的展开式中 x2的系数为 赋值法的应用 思路点拨 对涉及到求与二项式展开式系数有关的求和问题时 常用赋值法 即给二项式中的字母赋予适当的值 例如1或者 1等 问题即可得到解决 点评 二项式定理给出的是一个恒等式 对于a b的一切值都成立 因此 可将a b设定为一些特殊的值 在使用赋值法时 令a b等于多少 应就具体情况而定 有时取 1 有时取 1 也有时要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式各项系数之和为f 1 偶数项系数之和a0 a2 a4 奇数项系数之和为a1 a3 a5 变式探究 2 1 2013 湛江一模 若 x 1 5 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a5 x 1 5 则a0 a 1b 32c 1d 32 2 已知 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 8 a0 a1x a2x2 a8x8 则a1 a2 a3 a8 法二 赋值法 在已知等式中令x 1 则有a0 1 1 5 32 故选b 2 令x 0则a0 8 令x 1则a0 a1 a8 2 22 28 29 2 由 知a1 a2 a8 29 10 答案 1 b 2 29 10 求二项展开式中系数最大 小 的项 例3 已知二项式 1 若展开式中第5项 第6项与第7项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式系数最大项的系数 2 若展开式前三项的二项式系数和等于79 求展开式中系数最大的项 变式探究 3 1 在n的展开式中 只有第5项的二项式系数最大 则展开式中常数项是 a 7b 7c 28d 28 2 2013 新课标全国卷 设m为正整数 x y 2m展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1展开式的二项式系数的最大值为b 若13a 7b 则m a 5b 6c 7d 8 二项式定理的综合应用 思路点拨 1 把3n化为 2 1 n展开后放缩证明 2 求出系数和构造二项展开式求解 6 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另外两人每人得1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 思路点拨 这是一个分配问题 解题的关键是搞清事件是否与顺序有关 对于平均分组问题更要注意顺序 避免计数的重复或遗漏 点评 1 幂指数含n的不等式 n n 用二项式定理证明 有时比用数学归纳法证明要简捷得多 用二项式定理证明不等式时 要根据n的最小值确定展开后的最少项数 然后视具体情况确定应该保留多少项 这实际上是一个放缩适量的问题 2 利用二项式定理解决整除性问题时 关键是要巧妙地构造二项式 其基本思路是 要证明一个式子能被另一个式子整除 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可 因此 一般要将被除式化为含有相关除式的二项式 然后
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