高考数学大一轮总复习 第2篇 第11节 导数的简单应用课件 理 新人教A版 .ppt

第11节导数的简单应用 基础梳理 1 函数的单调性与导数 1 函数y f x 在某个区间内可导 若f x 0 则f x 在这个区间内 若f x 0 则f x 在这个区间内 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为 2 单调性的应用若函数y f x 在区间 a b 上单调 则y f x 在该区间上不变号 单调递增 单调递减 常函数 质疑探究1 若函数f x 在 a b 内单调递增 那么一定有f x 0吗 f x 0是否是f x 在 a b 内单调递增的充要条件 提示 函数f x 在 a b 内单调递增 则f x 0 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 函数极小值的概念满足 函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都 f a 在点x a附近的左侧 右侧 则点x a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 0 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 小 2 函数极大值的概念满足 函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都 f b 在点x b附近的左侧 右侧 则点x b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点与极大值点统称为 极小值与极大值统称为 0 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 大 3 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 列表 检验f x 在方程f x 0的根左右两侧的符号 判断y f x 在根左右两侧的单调性 如果左正右负 左增右减 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 左减右增 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极大值 极小值 质疑探究2 f x0 0是可导函数f x 在x x0处取极值的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当f x0 0且x0左右两端的导数符号变化时 才能说f x 在x x0处取得极值 反过来 如果可导函数f x 在x x0处取极值 则一定有f x0 0 3 函数的最值与导数求函数y f x 在闭区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中的一个为最大值 的一个为最小值 极值 最大 最小 4 利用导数解决实际生活中的优化问题 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 并确定定义域 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值点还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 3 从边长为10cm 16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形 作成一个无盖的盒子 则盒子容积的最大值为 a 12cm3b 72cm3c 144cm3d 160cm3 答案 c 考点突破 例1 设函数f x x a eax a r 1 求函数f x 的单调区间 2 如函数f x 在区间 4 4 内单调递增 求a的取值范围 思维导引 1 求出f x 就参数a的范围确定导数的符号 根据导数与单调性的关系得出结论 2 转化为函数的导数在区间 4 4 内大于或者等于零恒成立 利用导数研究函数的单调性 含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论 根据导数解决函数的单调性时 只要解导数大于0和小于0的不等式即可 但根据单调性确定函数解析式中的参数时 若是函数在区间d内单调递增 则需要导数在区间d内大于或者等于0恒成立 而不单纯是大于0恒成立 如果函数在一个区间上单调 则这个函数的导数在这个区间上一定存在变号零点 利用导数研究函数的极值 思维导引 1 根据导数的几何意义得关于a的方程求得a值 2 求导数等于零的点 并根据导数在这些点左右两侧的符号确定极值点 求出极值 运用导数求可导函数y f x 的极值的步骤 1 先求函数的定义域 再求函数y f x 的导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检查f x 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右符号相同 则此根处不是极值点 解 1 f x x2 m 1 x 由f x 在x 1处取得极大值 得f 1 1 m 1 0 则m 0 经检验m 0符合题意 所以m 0 2 因为f x 在区间 2 为增函数 所以f x x2 m 1 x x x m 1 0在区间 2 恒成立 所以x m 1 0恒成立 即m x 1恒成立 由于x 2 得m 1 所以m的取值范围是m 1 当m 1时 h x h x 随x的变化情况如下表 例3 已知函数f x x2eax 其中a 0 e为自然对数的底数 1 讨论函数f x 的单调性 2 求函数f x 在区间 0 1 上的最大值 利用导数研究函数的最值 思维导引 1 就参数a的不同取值讨论导数的符号 2 根据函数的极值点与已知区间的位置关系进行分类讨论 解 1 f x 2xeax x2aeax x ax 2 eax 当a 0时 由f x 0得x 0 由f x 0得x 0 故函数f x 在 0 单调递增 在 0 单调递减 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 首先可判断函数在 a b 上的单调性 若函数在 a b 上单调递增或单调递减 则f a f b 一个为最大值 一个为最小值 若函数在 a b 上不单调 一般先求 a b 上f x 的极值 再与f a f b 比较 最大的即为最大值 最小的即为最小值 利用导数研究生活中的优化问题 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 思维导引 1 先求出从甲地到乙地的时间 再与y相乘 即得耗油量 2 首先由每小时耗油量 时间 得到总耗油量关于行驶速度x的函数解析式 利用导数求最值 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 所以当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 即时突破4 2014吉林省吉林市二模 某蔬菜基地有一批黄瓜进入市场销售 通过市场调查 预测黄瓜的价格f x 单位 元 kg 与时间x 单位 天 x 0 8 且x n 的数据如下表 1 根据上表数据 从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格f x 与上市时间x的变化关系 f x ax b f x ax2 bx c f x