初中数学专题一 数学思想方法科课件 新人教版.ppt

专题一数学思想方法 1 数学思想方法是数学的生命和灵魂 是数学知识的精髓 是把知识转化为能力的桥梁 随着中考改革的深入 中考试题从知识型转变到能力型 更加突出了对数学思想方法的考查 2 分析近几年的中考试题 不难看出 中考命题都遵循着两条线 一条是明线 以选择题 填空题 解答题等外在形式考查数 式 方程 函数 三角形 四边形 圆等初中数学的重点内容 一条是暗线 通过试题重点考查初中数学常用的思想方法 3 对数学思想方法的考查主要集中在两个方面 一是代数综合题 其特点是 综合考查多个知识点 与生产生活实际内容相结合 用到的数学思想方法有化归思想 分类讨论思想 整体思想以及代入法 消元法 待定系数法等 二是代数与几何的综合题 其特点是 题目所涉及到的数学思想方法很多 以数形结合思想为主线 综合考查其他思想方法的灵活运用 难度较大 一般为中考中的压轴题 分类讨论思想 技法点拨 定义 在解答某些数学问题时 有时会遇到多种情况 需要对各种情况加以分类 并逐类求解 然后综合得解 这就是分类讨论法 分类原因 分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 综合性 探索性 引起分类讨论的原因主要是以下四个方面 问题所涉及的数学概念是分类进行定义的 问题中涉及的数学定理 公式和运算性质 法则有范围或者条件限制 或者是分类给出的 解含有参数的题目时 必须根据参数的不同取值范围进行讨论 题目条件笼统 存在不确定的数量 不确定的图形的形状或位置 不确定的结论等 例1 2011 聊城中考 如图 在矩形abcd中 ab 12cm bc 8cm 点e f g分别从点a b c三点同时出发 沿矩形的边按逆时针方向移动 点e g的速度均为2cm s 点f的速度为4cm s 当点f追上点g 即点f与点g重合 时 三个点随之停止移动 设移动开始后第t秒时 efg的面积为s cm2 1 当t 1秒时 s的值是多少 2 写出s和t之间的函数解析式 并指出自变量t的取值范围 3 若点f在矩形的边bc上移动 当t为何值时 以点e b f为顶点的三角形与以点f c g为顶点的三角形相似 请说明理由 思路点拨 1 s s梯形egcb s ebf s fcg 2 求s和t之间的函数解析式时要分0 t 2和2 t 4来求得 3 由于以点e b f为顶点的三角形与以f c g为顶点的三角形相似的对应关系不明确 因此本题也要分类讨论 自主解答 1 如图甲 当t 1秒时 ae 2 eb 10 bf 4 fc 4 cg 2 由s s梯形egcb s ebf s fcg 2 如图甲 当0 t 2时 点e f g分别在ab bc cd上移动 此时ae cg 2t eb 12 2t bf 4t fc 8 4t s 8t2 32t 48 0 t 2 如图乙 当点f追上点g时 4t 2t 8 解得t 4 当2 t 4时 cf 4t 8 cg 2t fg cg cf 8 2t 即s 8t 32 2 t 4 3 如图甲 当点f在矩形的边bc上移动时 0 t 2 在 ebf和 fcg中 b c 90 若 即 解得 又满足0 t 2 所以当时 ebf fcg 若 即 解得 又满足0 t 2 所以当时 ebf gcf 综上知 当或时 以点e b f为顶点的三角形与以点f c g为顶点的三角形相似 对点训练 1 2012 广安中考 已知等腰 abc中 ad bc于点d 且ad 则 abc底角的度数为 a 45 b 75 c 45 或15 d 60 解析 选c 设等腰三角形的底角为x ab ac时 ad bd cd 4x 180 x 45 当ac bc时 acd 30 x 15 等腰三角形的底角为45 或15 2 2011 大理中考 如图 已知 b与 abd的边ad相切于点c ac 4 b的半径为3 当 a与 b相切时 a的半径是 a 2 b 7 c 2或5 d 2或8 解析 选d 连接bc bc ad ac 4 bc 3 ab 5 当 a与 b相外切时 a的半径是2 当 a与 b相内切时 a的半径是8 3 2011 乐平中考 在直角坐标系中 已知a 1 0 b 1 2 c 2 2 三点坐标 若以a b c d为顶点的四边形是平行四边形 那么点d的坐标可以是 填序号 2 0 0 4 4 0 1 4 解析 根据平行四边形的性质 一组对边平行且相等 所以可利用平移法 将其中的一边沿着与它相交的边平移 可找到点d 共有三种情况 点d坐标分别为 2 0 0 4 4 0 答案 数形结合思想 技法点拨 定义 数形结合思想是指从几何直观角度 利用几何图形的性质研究数量关系 寻找代数问题的解决途径 或利用数量关系来研究几何图形的性质 解决几何问题的一种数学思想 其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来 关键是代数问题与图形之间的相互转化 解题关键 数形结合的应用内涵主要体现在两个方面 一是利用图形的直观性研究数量关系 二是应用数形结合的工具 数轴 平面直角坐标系 通过数量关系研究图形性质 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三点 第一是要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及函数图象的代数特征 对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义 第二是恰当设未知数建立关系 由数思形 以形想数 做好数形转化 第三是正确确定未知数的取值范围 例2 2012 益阳中考 已知 如图 抛物线y a x 1 2 c与x轴交于点和点b 将抛物线沿x轴向上翻折 顶点p落在点p 1 3 处 1 求原抛物线的解析式 2 学校举行班徽设计比赛 九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感 过点p 作x轴的平行线交抛物线于c d两点 将翻折后得到的新图象在直线cd以上的部分去掉 设计成一个 w 型的班徽 5 的拼音开头字母为w w 图案似大鹏展翅 寓意深远 而且小明通过计算惊奇地发现这个 w 图案的高与宽 cd 的比非常接近黄金分割比 约等于0 618 请你计算这个 w 图案的高与宽的比到底是多少 参考数据 结果可保留根号 思路点拨 1 自主解答 1 p与p 1 3 关于x轴对称 p点坐标为 1 3 抛物线y a x 1 2 c过点顶点是p 1 3 解得则抛物线的解析式为y x 1 2 3 即y x2 2x 2 2 cd平行于x轴 p 1 3 在cd上 c d两点的纵坐标为3 由 x 1 2 3 3得 c d两点的坐标分别为 w 图案的高与宽 cd 的比 或约等于0 6123 对点训练 4 2012 黔东南中考 如图 点a是反比例函数 x 0 的图象上的一点 过点a作 abcd 使点b c在x轴上 点d在y轴上 则 abcd的面积为 a 1 b 3 c 6 d 12 解析 选c 设点a的坐标为 a b 则ad bc a bc边上的高为b 所以 abcd的面积为 ab 因为点a a b 在反比例函数 x 0 的图象上 所以 所以ab 6 所以 abcd的面积为 ab 6 5 2012 兰州中考 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 若 ax2 bx c k k 0 有两个不相等的实数根 则k的取值范围是 a k 3 b k 3 c k 3 d k 3 解析 选d 由题意知 当ax2 bx c 0时 k 0 当ax2 bx c0 12a 4ak 0 4ak 12a k 3 所以k的取值范围为k 3 6 2011 十堰中考 如图 平行四边形aobc中 对角线交于点e 双曲线 k 0 经过a e两点 若平行四边形aobc的面积为18 则k 解析 设 b a 0 作ad ob于d ef ob于f 由三角形的中位线定理得 点e在双曲线上 平行四边形的面积是18 解得 k 6 答案 6 化归转化思想 技法点拨 定义 解决数学问题时 常遇到一些问题直接求解较为困难 通过观察 分析 类比 联想等思维过程 选择运用恰当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说自己较熟悉的问题 通过新问题的求解 达到解决原问题的目的 这一思想方法我们称之为 化归与转化的思想方法 化归与转化应遵循的五个基本原则 1 熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题 以利于我们运用熟知的知识 经验和问题来解决 2 简单化原则 将复杂的问题化归为简单问题 通过对简单问题的解决 达到解决复杂问题的目的 或获得某种解题的启示和依据 3 和谐化原则 化归问题的条件或结论 使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式 或者转化命题 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律 4 直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决 5 正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时 可考虑问题的反面 设法从问题的反面去探求 使问题获解 例3 2011 绍兴中考 数学课上 李老师出示了如下框中的题目 在等边三角形abc中 点e在ab上 点d在cb的延长线上 且ed ec 如图 试确定线段ae与db的大小关系 并说明理由 小敏与同桌小聪讨论后 进行了如下解答 1 特殊情况 探索结论当点e为ab的中点时 如图1 确定线段ae与db的大小关系 请你直接写出结论 ae db 填 或 2 特例启发 解答题目解 题目中 ae与db的大小关系是 ae db 填 或 理由如下 如图2 过点e作ef bc 交ac于点f 请你完成以下解答过程 3 拓展结论 设计新题 在等边三角形abc中 点e在直线ab上 点d在直线bc上 且ed ec 若 abc的边长为1 ae 2 求cd的长 请你直接写出结果 思路点拨 自主解答 1 2 剩余解题过程 在等边三角形abc中 abc acb bac 60 ab bc ac ef bc aef afe 60 bac aef为等边三角形 ae af ef ab ae ac af 即be cf 又 abc edb bed 60 acb ecb fce 60 ed ec edb ecb bed fce dbe efc db ef ae db 3 1或3 对点训练 7 2011 綦江中考 如下表 从左到右在每个小格子中都填入一个整数 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等 则第2011个格子中的数为 a 3 b 2 c 0 d 1 解析 选a 设 1与2之间的三空为x y z 所以有3 a b a b c b c 1 c 1 x 1 x y x y z y z 2 解得a 1 2 c 3 x 2 y 3 z 1 因此上面数字排列是以3 1 2为循环的 2011 3 670 1 故是3 选a 8 2011 内江中考 如图 在等边 abc中 d为bc边上一点 e为ac边上一点 且 ade 60 bd 4 则 abc的面积为 解析 选c abc是等边三角形 ade 60 b c ade 60 ab bc adb dac c dec ade dac adb dec abd dce 设ab x 则dc x 4 x 6 ab 6 过点a作af bc于f 在rt abf中 9 2011 滨州中考 如图 在平面直角坐标系中 正方形abco的