高中数学 2.2.1 第1课时 综合法课件 新人教A版选修23.ppt

2 2直接证明与间接证明2 2 1综合法和分析法第1课时综合法 1 定义 一般地 利用 和某些数学 等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 已知条件 定义 公理 定理 推理论证 综合法 2 推证过程 已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 顺推证 由因导果 思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理 提示 综合法的推理过程是演绎推理 它的每一步推理都是严密的逻辑推理 得到的结论是正确的 知识点拨 1 对综合法的四点说明 1 思维特点 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其推理过程实际上是寻找结论成立的必要条件的过程 2 优点 条理清晰 易于表述 3 缺点 探路艰难 易生枝节 4 思维过程 原因 结果 2 综合法的思考过程由于综合法证明命题 若a则d 的思考过程可表示为 故要从a推理到d 由a推理出的中间结论未必唯一 如b b1 b2等 可由b b1 b2能推理出的进一步的中间结论则可能更多 如c c1 c2 c3 c4等 最终能有一个 或多个 可推理出结论d即可 所以如何找到 切入点 和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键 类型一用综合法证明三角等式 典型例题 1 求证 sin3 3sin 4sin3 2 若sin sin cos 成等差数列 sin sin cos 成等比数列 求证 2cos2 cos2 解题探究 1 两角和的正弦公式和二倍角正弦公式是什么 2 如果a b c成等差数列 会有什么结论 成等比数列呢 探究提示 1 sin sin cos cos sin sin2 2sin cos 2 若a b c成等差数列 则a c 2b 若a b c成等比数列 则ac b2 解析 1 左边 sin 2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 1 2sin2 sin 2sin 1 sin2 sin 2sin3 2sin 2sin3 sin 2sin3 3sin 4sin3 右边 所以sin3 3sin 4sin3 2 由题设知sin cos 2sin 则1 2sin cos 4sin2 即sin2 4sin2 1 又由sin sin cos 成等比数列 得sin cos sin2 即sin2 2sin2 由 得4sin2 1 2sin2 所以2 1 cos2 1 1 cos2 所以2cos2 cos2 互动探究 把题1改为cos3 4cos3 3cos 如何证明 证明 左边 cos 2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1 cos 2sin2 cos 2cos3 cos 2cos 1 cos2 4cos3 3cos 右边 所以cos3 4cos3 3cos 拓展提升 1 综合法处理问题的 三步骤 2 证明三角等式的主要依据 1 三角函数的定义 诱导公式及同角基本关系式 2 和 差 倍角的三角函数公式 3 三角形中的三角函数及三角形内角和定理 4 正弦定理 余弦定理和三角形的面积公式 变式训练 已知tan 3tan 求证 2sin2 sin2 sin 2 2 解题指南 根据条件式与待证式中函数名称的不同 证明时可以切化弦后向目标转化 证明 tan 3tan 可变为sin cos 3sin cos sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos cos sin sin sin 2sin cos cos 2sin2 sin 1 2sin2 sin sin2 cos 两边同乘以2cos 因为cos 0 否则由1 2sin2 0得sin 0 矛盾 得 1 2sin2 sin2 sin2 2cos2 sin2 1 cos2 sin2 sin2 1 cos2 2sin2 sin2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin 2 2 所以命题成立 类型二用综合法证明不等式 典型例题 1 2013 漳州高二检测 下面的四个不等式 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 其中恒成立的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 2 已知a b c是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 3 已知a b c是正数 且a b c 1 求证 解题探究 1 判断不等式成立的方法有哪些 2 基本不等式的内容是什么 3 在对于条件 a b c 1 一般的应用思路是什么 探究提示 1 常见方法有 比较法 基本不等式法等 2 若a b r 则a2 b2 2ab 当且仅当a b时取等号 若a b r 则 当且仅当a b时取等号 3 在形如 a b c 1 作为条件时 常用代换 1 解析 1 选c 因为a2 b2 2ab 相加得 所以a2 b2 3 ab a b a2 b2 c2 d2 a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 ac bd 2 而因a b符号不确定而不一定成立 故应选c 2 因为b2 c2 2bc 所以a b2 c2 2abc 同理b c2 a2 2abc c a2 b2 2abc 因为a b c不全相等 所以b2 c2 2bc c2 a2 2ca a2 b2 2ab三式中不能全取 所以 式相加得a b2 c2 b c2 a2 c a2 b2 6abc 3 因为a b c r 且a b c 1 所以所以故 当且仅当a b c时取等号 拓展提升 综合法证明不等式的主要依据 1 a2 0 a r 2 a2 b2 2ab 3 a b 0 则特别地 4 a b 0 a b a b 0 a b 5 a2 b2 c2 ab bc ca 变式训练 已知x 0 y 0且x y 1 求证 证明 方法一 因为x 0 y 0 所以所以 方法二 因为1 x y 所以 又因为x 0 y 0 所以所以 类型三综合法在数列中的应用 典型例题 1 设a b c三个数成等比数列 而x y分别是a b和b c的等差中项 则 2 已知sn为等差数列 an 的前n项和 n n 求证 数列 bn 是等差数列 解题探究 1 若a是m n的等差中项 则三个数之间有什么关系 2 如何证明一个数列为等差数列 探究提示 1 2 1 定义法 2 通项公式法 3 等差中项法 4 前n项和法 解析 1 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 即所以又因为x y分别是a b和b c的等差中项 所以所以答案 2 2 方法一 设等差数列 an 的公差为d 则所以所以 常数 所以数列 bn 是等差数列 方法二 因为所以所以所以数列 bn 是等差数列 拓展提升 综合法证明数列问题的依据 变式训练 设数列 an 的前n项和为sn 满足 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 m 0 1 求证 an 是等比数列 2 若数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 a1 n n n 2 求证 为等差数列 解题指南 1 只需证明为常数 要注意m 0且m 3 2 利用 1 的结论得出q f m 于是可以建立bn与bn 1的关系 再由等差数列的定义证明 证明 1 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减得 3 m an 1 2man 因为m 0且m 3 所以所以 an 是等比数列 2 因为b1 a1 1 所以n n 且n 2时 所以 是以1为首项 为公差的等差数列 规范解答 综合法在数列证明中的应用 典例 条件分析 规范解答 1 由条件得sn 2sn 1 n 1 5 n 2 i 2分又sn 1 2sn n 5 ii ii i 得an 1 2an 1 n 2 4分 所以 6分 2 又n 1时 s2 2s1 1 5 且a1 5 所以a2 11 所以 所以数列 an 1 是以2为公比的等比数列 8分 2 因为a1 1 6 9分所以an 1 6 2n 1 3 2n 所以an 3 2n 1 12分 失分警示 防范措施 1 注意an与sn的关系的应用在数列解题中是常用解题方法 只要条件中含有sn 一定会用到它 如本例 处 2 定义使用应验证在数列中 an 1 sn 1出现的条件是n 2 所以要验证n 1时成立 如本例 处 类题试解 设数列 an 的前n项和sn 2an 2n 证明 an 1 2an 是等比数列 证明 由条件sn 2an 2n得sn 1 2an 1 2n 1 所以an 1 2an 1 2an 2n 1 2n 即an 1 2an 2n 1 2n 2n 所以又因为s1 2a1 21 得a1 2 s2 2a2 22 得a2 6 所以a2 2a1 6 2 2 2 0 所以数列 an 1 2an 是以2为首项 2为公比的等比数列 1 以下命题中正确的是 a 综合法是执果索因的逆推法b 综合法是由因导果的顺推法c 综合法是因果互推的两头凑法d 综合法就是举反例 解析 选b 综合法就是从已知条件 因 出发 利用已有知识进行证明结论 果 的方法 2 在 abc中 a b c的对边分别为a b c b 60 b2 ac 则 abc的形状是 a 非等边三角形b 等边三角形c 等腰三角形d 直角三角形 解析 选b 由条件知b2 a2 c2 2accosb a2 c2 2accos60 ac 即a2 2ac c2 0 所以 a c 2 0 所以a c 又因为b 60 所以 abc为等边三角形 3 已知 x 0 y 0 则xy的最小值是 解析 由x 0 y 0 得所以xy 6 当且仅当即x 2 y 3时 xy取