中考数学真题分类汇编第三期专题42综合性问题试题含解析.doc

综合性问题一.选择题1（2018重庆市B卷）（4.00分）如图、菱形ABCD的边ADy轴、垂足为点E、顶点A在第二象限、顶点B在y轴的正半轴上、反比例函数y=（k0、x0）的图象同时经过顶点C、D若点C的横坐标为5、BE=3DE、则k的值为（）AB3CD5【分析】由已知、可得菱形边长为5、设出点D坐标、即可用勾股定理构造方程、进而求出k值【解答】解：过点D做DFBC于F由已知、BC=5四边形ABCD是菱形DC=5BE=3DE设DE=x、则BE=3xDF=3x、BF=x、FC=5x在RtDFC中、DF2+FC2=DC2（3x）2+（5x）2=52解得x=1DE=3、FD=3设OB=a则点D坐标为（1、a+3）、点C坐标为（5、a）点D.C在双曲线上1（a+3）=5aa=点C坐标为（5、）k=故选：C【点评】本题是代数几何综合题、考查了数形结合思想和反比例函数k值性质解题关键是通过勾股定理构造方程2 （2018湖北咸宁3分）如图、已知MON=120、点A、B分别在OM、ON上、且OA=OB=a、将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM、旋转角为（0120且60）、作点A关于直线OM的对称点C、画直线BC交OM于点D、连接AC、AD、有下列结论：AD=CD；ACD的大小随着的变化而变化；当=30时、四边形OADC为菱形；ACD面积的最大值为a2；其中正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【解析】【分析】根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM是AC的垂直平分线、再由垂直平分线的性质可作判断；以O为圆心、以OA为半径作O、交AO的延长线于E、连接BE、则A.B.C都在O上、根据四点共圆的性质得：ACD=E=60、说明ACD是定值、不会随着的变化而变化；当=30时、即AOD=COD=30、证明AOC是等边三角形和ACD是等边三角形、得OC=OA=AD=CD、可作判断；先证明ACD是等边三角形、当AC最大时、ACD的面积最大、当AC为直径时最大、根据面积公式计算后可作判断【详解】A.C关于直线OM对称、OM是AC的垂直平分线、CD=AD、故正确；连接OC、由知：OM是AC的垂直平分线、OC=OA、OA=OB=OC、以O为圆心、以OA为半径作O、交AO的延长线于E、连接BE、则A.B.C都在O上、MON=120、BOE=60、OB=OE、OBE是等边三角形、E=60、A.C.B.E四点共圆、ACD=E=60、故不正确；当=30时、即AOD=COD=30、AOC=60、AOC是等边三角形、OAC=60、OC=OA=AC、由得：CD=AD、CAD=ACD=CDA=60、ACD是等边三角形、AC=AD=CD、OC=OA=AD=CD、四边形OADC为菱形、故正确；CD=AD、ACD=60、ACD是等边三角形、当AC最大时、ACD的面积最大、AC是O的弦、即当AC为直径时最大、此时AC=2OA=2a、=90、ACD面积的最大值是：AC2=、故正确、所以本题结论正确的有：、故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等、综合性较强、有一定的难度、正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.二.填空题1. （2018莱芜4分）如图、若ABC内一点P满足PAC=PCB=PBA、则称点P为ABC的布罗卡尔点、三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现、后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现、并用他的名字命名、布罗卡尔点的再次发现、引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC中、CA=CB、ACB=120、P为ABC的布罗卡尔点、若PA=、则PB+PC=1+【分析】作CHAB于H首先证明BC=BC、再证明PABPBC、可得=、即可求出PB.PC；【解答】解：作CHAB于HCA=CB、CHAB、ACB=120、AH=BH、ACH=BCH=60、CAB=CBA=30、AB=2BH=2BCcos30=BC、PAC=PCB=PBA、PAB=PBC、PABPBC、=、PA=、PB=1、PC=、PB+PC=1+故答案为1+【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识、解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题三.解答题1. （2018湖北十堰10分）已知正方形ABCD与正方形CEFG、M是AF的中点、连接DM、EM（1）如图1、点E在CD上、点G在BC的延长线上、请判断DM、EM的数量关系与位置关系、并直接写出结论；（2）如图2、点E在DC的延长线上、点G在BC上、（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG绕点C旋转、使D、E、F三点在一条直线上、若AB=13、CE=5、请画出图形、并直接写出MF的长【分析】（1）结论：DMEM、DM=EM只要证明AMHFME、推出MH=ME、AH=EF=EC、推出DH=DE、因为EDH=90、可得DMEM、DM=ME；（2）结论不变、证明方法类似；（3）分两种情形画出图形、理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【解答】解：（1）结论：DMEM、DM=EM理由：如图1中、延长EM交AD于H四边形ABCD是正方形、四边形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（2）如图2中、结论不变DMEM、DM=EM理由：如图2中、延长EM交DA的延长线于H四边形ABCD是正方形、四边形EFGC是正方形、ADE=DEF=90、AD=CD、ADEF、MAH=MFE、AM=MF、AMH=FME、AMHFME、MH=ME、AH=EF=EC、DH=DE、EDH=90、DMEM、DM=ME（3）如图3中、作MRDE于R在RtCDE中、DE=12、DM=NE、DMME、MR=DE、MR=DE=6、DR=RE=6、在RtFMR中、FM=如图4中、作MRDE于R在RtMRF中、FM=、故满足条件的MF的值为或【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质、灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键2.（2018浙江省台州12分）如图、在RtABC中、AC=BC、ACB=90、点D、E分别在AC、BC上、且CD=CE（1）如图1、求证：CAE=CBD；（2）如图2、F是BD的中点、求证：AECF；（3）如图3、F、G分别是BD、AE的中点、若AC=2、CE=1、求CGF的面积【分析】（1）直接判断出ACEBCD即可得出结论；（2）先判断出BCF=CBF、进而得出BCF=CAE、即可得出结论；（3）先求出BD=3、进而求出CF=、同理：EG=、再利用等面积法求出ME、进而求出GM、最后用面积公式即可得出结论【解答】解：（1）在ACE和BCD中、ACEBCD、CAE=CBD；（2）如图2、在RtBCD中、点F是BD的中点、CF=BF、BCF=CBF、由（1）知、CAE=CBD、BCF=CAE、CAE+ACF=BCF+ACF=BAC=90、AMC=90、AECF；（3）如图3、AC=2、BC=AC=2、CE=1、CD=CE=1、在RtBCD中、根据勾股定理得、BD=3、点F是BD中点、CF=DF=BD=、同理：EG=AE=、连接EF、过点F作FHBC、ACB=90、点F是BD的中点、FH=CD=、SCEF=CEFH=1=、由（2）知、AECF、SCEF=CFME=ME=ME、ME=、ME=、GM=EGME=、SCFG=CFGM=【点评】此题是三角形综合题、主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的面积公式、勾股定理、作出辅助线求出CFG的边CF上的是解本题的关键3.（2018浙江省台州14分）如图、ABC是O的内接三角形、点D在上、点E在弦AB上（E不与A重合）、且四边形BDCE为菱形（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2AC2=ABAC；（3）已知O的半径为3若=、求BC的长；当为何值时、ABAC的值最大？【分析】（1）由菱形知D=BEC、由A+D=BEC+AEC=180可得A=AEC、据此得证；（2）以点C为圆心、CE长为半径作C、与BC交于点F、于BC延长线交于点G、则CF=CG=AC=CE=CD、证BEFBGA得=、即BFBG=BEAB、将BF=BCCF=BCAC.BG=BC+CG=BC+AC代入可得；（3）设AB=5k、AC=3k、由BC2AC2=ABAC知BC=2k、连接ED交BC于点M、RtDMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM=k、可知OM=ODDM=3k、在RtCOM中、由OM2+MC2=OC2可得答案设OM=d、则MD=3d、MC2=OC2OM2=9d2、继而知BC2=（2MC）2=364d2.AC2=DC2=DM2+CM2=（3d）2+9d2、由（2）得ABAC=BC2AC2、据此得出关于d的二次函数、利用二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）四边形EBDC为菱形、D=BEC、四边形ABDC是圆的内接四边形、A+D=180、又BEC+AEC=180、A=AEC、AC=AE；（2）以点C为圆心、CE长为半径作C、与BC交于点F、于BC延长线交于点G、则CF=CG、由（1）知AC=CE=CD、CF=CG=AC、四边形AEFG是C的内接四边形、G+AEF=180、又AEF+BEF=180、G=BEF、EBF=GBA、BEFBGA、=、即BFBG=BEAB、BF=BCCF=BCAC.BG=BC+CG=BC+AC、BE=CE=AC、（BCAC）（BC+AC）=ABAC、即BC2AC2=ABAC；（3）设AB=5k、AC=3k、BC2AC2=ABAC、BC=2k、连接ED交BC于点M、四边形BDCE是菱形、DE垂直平分BC、则点E.O、M、D共线、在RtDMC中、DC=AC=3k、MC=BC=k、DM=k、OM=ODDM=3k、在RtCOM中、由OM2+MC2=OC2得（3k）2+（k）2=32、解得：k=或k=0（舍）、BC=2k=4；设OM=d、则MD=3d、MC2=OC2OM2=9d2、BC2=（2MC）2=364d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3d）2+9d2、由（2）得ABAC=BC2AC2=4d2+6d+18=4（d）2+、当x=、即OM=时、ABAC最大、最大值为、DC2=、AC=DC=、AB=、此时=【点评】本题主要考查圆的综合问题、解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点4（2018辽宁省沈阳市）（12.00分）已知：ABC是等腰三角形、CA=CB、0ACB90点M在边AC上、点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合）、BN=AM、连接AN、BM、射线AGBC、延长BM交射线AG于点D、点E在直线AN上、且AE=DE（1）如图、当ACB=90时求证：BCMACN；求BDE的度数；（2）当ACB=、其它多件不变时、BDE的度数是或180（用含的代数式表示）（3）若ABC是等边三角形、AB=3、点N是BC边上的三等分点、直线ED与直线BC交于点F、请直接写出线段CF的长【分析】（1）根据SAS证明即可；想办法证明ADE+ADB=90即可；（2）分两种情形讨论求解即可、如图2中、当点E在AN的延长线上时、如图3中、当点E在NA的延长线上时、（3）分两种情形求解即可、如图4中、当BN=BC=时、作AKBC于K解直角三角形即可如图5中、当CN=BC=时、作AKBC于K、DHBC于H【解答】（1）证明：如图1中、CA=CB、BN=AM、CBBN=CAAM即CN=CM、ACN=BCMBCMACN解：如图1中、BCMACN、MBC=NAC、EA=ED、EAD=EDA、AGBC、GAC=ACB=90、ADB=DBC、ADB=NAC、ADB+EDA=NAC+EAD、ADB+EDA=18090=90、BDE=90（2）解：如图2中、当点E在AN的延长线上时、易证：CBM=ADB=CAN、ACB=CAD、EA=ED、EAD=EDA、CAN+CAD=BDE+ADB、BDE=ACB=如图3中、当点E在NA的延长线上时、易证：1+2=CAN+DAC、2=ADM=CBD=CAN、1=CAD=ACB=、BDE=180综上所述、BDE=或180故答案为或180（3）解：如图4中、当BN=BC=时、作AKBC于KADBC、=、AD=、AC=3、易证ADC是直角三角形、则四边形ADCK是矩形、AKNDCF、CF=NK=BKBN=如图5中、当CN=BC=时、作AKBC于K、DHBC于HADBC、=2、AD=6、易证ACD是直角三角形、由ACKCDH、可得CH=AK=、由AKNDHF、可得KN=FH=、CF=CHFH=4综上所述、CF的长为或4【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识、解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题、学会添加常用辅助线、构造直角三角形解决问题、属于中考压轴题5（2018辽宁省沈阳市）（10.00分）如图、在平面直角坐标系中、点F的坐标为（0、10）点E的坐标为（20、0）、直线l1经过点F和点E、直线l1与直线l2 、y=x相交于点P（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上、点A与点F重合、点B在线段OF上、边AD平行于x 轴、且AB=6、AD=9、将矩形ABCD沿射线FE的方向平移、边AD始终与x 轴平行已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动）、设移动时间为t秒（t0）矩形ABCD在移动过程中、B.C.D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上、请直接写出此时t的值；若矩形ABCD在移动的过程中、直线CD交直线l1于点N、交直线l2于点M当PMN的面积等于18时、请直接写出此时t的值【分析】（1）利用待定系数法求解析式、函数关系式联立方程求交点；（2）分析矩形运动规律、找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况、利用AD.AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标、进而求出AF距离；设点A坐标、表示PMN即可【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y=kx+b直线l1过点F（0、10）、E（20、0）解得直线l1的表达式为y=x+10求直线l1与直线l2 交点、得x=x+10解得x=8y=8=6点P坐标为（8、6）（2）如图、当点D在直线上l2时AD=9点D与点A的横坐标之差为9将直线l1与直线l2 交解析式变为x=202y、x=yy（202y）=9解得y=则点A的坐标为：（、）则AF=点A速度为每秒个单位t=如图、当点B在l2 直线上时AB=6点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位直线l1的解析式减去直线l2 的解析式得x+10x=6解得x=则点A坐标为（、）则AF=点A速度为每秒个单位t=故t值为或如图、设直线AB交l2 于点H设点A横坐标为a、则点D横坐标为a+9由中方法可知：MN=此时点P到MN距离为：a+98=a+1PMN的面积等于18解得a1=、a2=（舍去）AF=6则此时t为当t=时、PMN的面积等于18【点评】本题是代数几何综合题、应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标、涉及到了分类讨论思想和数形结合思想6（2018重庆市B卷）（12.00分）抛物线y=x2x+与x轴交于点A、B（点A在点B的左边）、与y轴交于点C、点D是该抛物线的顶点（1）如图1、连接CD、求线段CD的长；（2）如图2、点P是直线AC上方抛物线上一点、PFx轴于点F、PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移、线段OB的对应线段是O1B1、当PE+EC的值最大时、求四边形PO1B1C周长的最小值、并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3、点H是线段AB的中点、连接CH、将OBC沿直线CH翻折至O2B2C的位置、再将O2B2C绕点B2旋转一周在旋转过程中、点O2、C的对应点分别是点O3、C1、直线O3C1分别与直线AC、x轴交于点M、N那么、在O2B2C的整个旋转过程中、是否存在恰当的位置、使AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在、请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在、请说明理由【分析】（1）分别表示C和D的坐标、利用勾股定理可得CD的长；（2）令y=0、可求得A（3、0）、B（、0）、利用待定系数法可计算直线AC的解析式为：y=、设E（x、）、P（x、x2x+）、表示PE的长、利用勾股定理计算AC的长、发现CAO=30、得AE=2EF=、计算PE+EC、利用配方法可得当PE+EC的值最大时、x=2、此时P（2、）、确定要使四边形PO1B1C周长的最小、即PO1+B1C的值最小、将点P向右平移个单位长度得点P1（、）、连接P1B1、则PO1=P1B1、再作点P1关于x轴的对称点P2（、）、可得结论；（3）先确定对折后O2C落在AC上、AMN是以MN为腰的等腰三角形存在四种情况：如图4、AN=MN、证明C1ECB2O2M、可计算O2M的长；如图5、AM=MN、此时M与C重合、O2M=O2C=；如图6、AM=MN、N和H、C1重合、可得结论；如图7、AN=MN、过C1作C1EAC于E证明四边形C1EO2B2是矩形、根据O2M=EO2+EM可得结论【解答】解：（1）如图1、过点D作DKy轴于K、当x=0时、y=、C（0、）、y=x2x+=（x+）2+、D（、）、DK=、CK=、CD=；（4分）（2）在y=x2x+中、令y=0、则x2x+=0、解得：x1=3、x2=、A（3、0）、B（、0）、C（0、）、易得直线AC的解析式为：y=、设E（x、）、P（x、x2x+）、PF=x2x+、EF=、RtACO中、AO=3、OC=、AC=2、CAO=30、AE=2EF=、PE+EC=（x2x+）（x+）+（ACAE）、=x+2（）、=xx、=（x+2）2+、（5分）当PE+EC的值最大时、x=2、此时P（2、）、（6分）PC=2、O1B1=OB=、要使四边形PO1B1C周长的最小、即PO1+B1C的值最小、如图2、将点P向右平移个单位长度得点P1（、）、连接P1B1、则PO1=P1B1、再作点P1关于x轴的对称点P2（、）、则P1B1=P2B1、PO1+B1C=P2B1+B1C、连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1、B1（、0）、将B1向左平移个单位长度即得点O1、此时PO1+B1C=P2C=、对应的点O1的坐标为（、0）、（7分）四边形PO1B1C周长的最小值为+3；（8分）（3）O2M的长度为或或2+或2（12分）理由是：如图3、H是AB的中点、OH=、OC=、CH=BC=2、HCO=BCO=30、ACO=60、将CO沿CH对折后落在直线AC上、即O2在AC上、B2CA=CAB=30、B2CAB、B2（2、）、如图4、AN=MN、MAN=AMN=30=O2B2O3、由旋转得：CB2C1=O2B2O3=30、B2C=B2C1、B2CC1=B2C1C=75、过C1作C1EB2C于E、B2C=B2C1=2、=B2O2、B2E=、O2MB2=B2MO3=75=B2CC1、B2O2M=C1EC=90、C1ECB2O2M、O2M=CE=B2CB2E=2；如图5、AM=MN、此时M与C重合、O2M=O2C=、如图6、AM=MN、B2C=B2C1=2=B2H、即N和H、C1重合、CAO=AHM=MHO2=30、O2M=AO2=；如图7、AN=MN、过C1作C1EAC于E、NMA=NAM=30、O3C1B2=30=O3MA、C1B2AC、C1B2O2=AO2B2=90、C1EC=90、四边形C1EO2B2是矩形、EO2=C1B2=2、EM=、O2M=EO2+EM=2+、综上所述、O2M的长是或或2+或2【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题、学会构建轴对称解决最值问题、对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想、属于中考压轴题7(2018辽宁省葫芦岛市) 在ABC中、AB=BC、点O是AC的中点、点P是AC上的一个动点（点P不与点A、O、C重合）过点A、点C作直线BP的垂线、垂足分别为点E和点F、连接OE、OF（1）如图1、请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2、当ABC=90时、请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系、并说明理由（3）若|CFAE|=2、EF=2、当POF为等腰三角形时、请直接写出线段OP的长【解答】解：（1）如图1中、延长EO交CF于KAEBE、CFBE、AECK、EAO=KCOOA=OC、AOE=COK、AOECOK、OE=OKEFK是直角三角形、OF=EK=OE（2）如图2中、延长EO交CF于KABC=AEB=CFB=90、ABE+BAE=90、ABE+CBF=90、BAE=CBFAB=BC、ABEBCF、BE=CF、AE=BFAOECOK、AE=CK、OE=OK、FK=EF、EFK是等腰直角三角形、OFEK、OF=OE（3）如图3中、延长EO交CF于K作P