高考数学总复习 第七章 第十二节空间直角坐标系课件 文.ppt

第十二节空间直角坐标系 第七章平面解析几何 考纲要求 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 2 会推导空间两点间的距离公式 课前自修 知识梳理 一 空间直角坐标系1 定义 在空间取定一点o 以点o为原点作三条互相垂直的数轴 分别称为x轴 y轴 z轴 统称为坐标轴 三个坐标轴的次序和方向按右手系排列 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系 o为原点 坐标平面 两条坐标轴确定的面 xoy面 由x轴及y轴确定的坐标面 yoz面 由y轴及z轴确定的坐标面 zox面 由z轴及x轴确定的坐标面 三个坐标平面将空间分成八个部分 每一部分称为卦限 从由x轴 y轴 z轴的正半轴所确定的半平面隔出的那一部分起 按逆时针方向 依次为第 卦限 第 卦限 第 卦限 第 卦限 第 卦限 第 卦限 第 卦限 第 卦限 2 空间点的坐标表示 设m是空间一点 过点m分别作垂直于x轴 y轴 z轴的平面 它们与坐标轴的交点分别为p q r 这三点在三坐标轴的坐标依次为x y z 这样 由空间一点m唯一地确定一个三元有序数组 x y z 反之 设 x y z 为一个三元有序数组 过x轴上坐标为x的点 y轴上坐标为y的点 z轴上坐标为z的点 分别作x轴 y轴 z轴的垂直平面 这三个平面的交点m便是三元有序数组 x y z 唯一确定的点 所以空间点m与三元有序数组 x y z 一一对应 称为m点的坐标 记为m x y z 3 坐标轴 坐标平面上的点的特征 x 0 0 x轴上的点 x y 0 xoy面上的点 0 y 0 y轴上的点 0 y z yoz面上的点 0 0 z z轴上的点 x 0 z zox面上的点 坐标系中各卦限的点的坐标的符号特征 第 卦限 正 正 正 第 卦限 负 正 正 第 卦限 负 负 正 第 卦限 正 负 正 第 卦限 正 正 负 第 卦限 负 正 负 第 卦限 负 负 负 第 卦限 正 负 负 4 空间里点的对称规律 规律1 关于坐标平面对称的两点的坐标的特点 点p x y z 关于xoy平面对称的点为p x y z 点p x y z 关于xoz平面对称的点为p x y z 点p x y z 关于yoz平面对称的点为p x y z 规律2 关于坐标轴对称的两点的坐标的特点 点p x y z 关于x轴对称的点为p x y z 点p x y z 关于y轴对称的点为p x y z 点p x y z 关于z轴对称的点为p x y z 规律3 点p x y z 关于原点对称的点为p x y z 规律4 点p x y z 关于点a a b c 对称的点为p 2a x 2b y 2c z 二 空间中两点的距离公式 设m1 x1 y1 z1 m2 x2 y2 z2 如图所示 则 m1p x2 x1 pn y2 y1 nm2 z2 z1 m1n 2 m1p 2 pn 2 x2 x1 2 y2 y1 2 m1m2 2 m1n 2 nm2 2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 点m1与m2间的距离为 基础自测 1 在 abc中 已知a 1 3 5 b 3 2 7 若三角形的重心在坐标系原点 则顶点c的坐标是 a 2 1 2 b 2 1 2 c 2 1 2 d 2 1 2 解析 设点c的坐标为 x y z 由空间中三角形的重心公式得 1 3 x 0 3 2 y 0 5 7 z 0 解得x 2 y 1 z 2 所以点c的坐标为 2 1 2 答案 c 2 已知线段ab两端点坐标为a 2 3 4 b 2 5 3 则与线段ab平行的坐标平面 a 是xoy平面b 是yoz平面c 是xoz平面d 不存在 解析 x1 y1 z1 与 x2 y2 z2 中 x1 x2 答案 b 3 2011 佛山市南海一中检测 空间直角坐标系中 a 6 0 1 b 3 5 7 则 ab 4 设a 3 3 1 b 1 0 5 c 0 1 0 ab的中点为m 则 cm 考点探究 考点一 求空间中点到坐标轴 坐标平面 的距离 例1 在空间直角坐标系中 求点n 3 4 2 到原点 各坐标轴 各坐标平面的距离 思路点拨 要理解空间直角坐标系中 点的坐标的意义 先确定点n在空间的位置 第 卦限 然后作出点n在各坐标平面内的射影 并分析各射影点的坐标可帮助理解 解析 如图所示 点n在空间坐标系中的位置 及到各坐标平面内的射影可依赖长方体nmkl pqos来观察分析 各距离如下 点评 研究点n x y z 坐标 可以n o 坐标原点 为对顶顶点 构造一个长方体 借助长方体模型来理解空间直角坐标系中的点的坐标十分直观 注意此长方体中的以n为一端点的棱 对角线 面对角线的意义 变式探究 1 已知a 1 0 2 b 1 3 1 点m在z轴上 且到a b两点间的距离相等 则点m的坐标为 a 3 0 0 b 0 3 0 c 0 0 3 d 0 0 3 解析 设点m的坐标为 0 0 z 则12 02 2 z 2 12 32 1 z 2 解得z 3 所以点m的坐标为 0 0 3 答案 c 考点二 求空间中的点关于坐标平面 坐标轴 原点 对称的点的坐标 例2 1 分别写出点p 3 2 1 关于三个坐标平面的对称点的坐标 2 分别写出点p 3 2 1 关于三个坐标轴的对称的点的坐标 3 写出点p 3 2 1 关于原点对称的点的坐标 4 写出点p 3 2 1 关于点a 2 1 5 对称的点b的坐标 思路点拨 类比平面直角坐标系中点的对称问题 考虑添加平面后的各种情况 解析 1 点p 3 2 1 在xoy平面的下方 所以点p 3 2 1 关于xoy平面对称的点为p 3 2 1 如图 所示 点p 3 2 1 关于xoz平面的对称点为p 3 2 1 如图 所示 点p 3 2 1 关于yoz平面对称的点为p 3 2 1 如图 所示 2 点p 3 2 1 关于x轴对称的点的坐标为 3 2 1 点p 3 2 1 关于y轴对称的点的坐标为 3 2 1 点p 3 2 1 关于z轴对称的点的坐标为 3 2 1 3 由点的坐标概念可得点p 3 2 1 关于原点对称的点的坐标为 3 2 1 4 设点b的坐标为 x y z 则点a 2 1 5 是线段pb的中点 由中点坐标公式可得所以点b的坐标为 7 4 11 点评 注意归纳以下有关对称问题的规律 1 关于坐标平面对称的两点的坐标的特点 2 关于坐标轴对称的两点的坐标的特点 3 关于原点对称的点的特点 4 点p x y z 关于点a a b c 对称的点的坐标特点 变式探究 2 1 设点b是点a 2 3 5 关于坐标平面xoy的对称点 则 ab a 10b c d 38 2 在空间直角坐标系中 点m 2 4 3 在xoz平面上的射影为点m 则m 关于原点对称点的坐标是 a 2 4 0 b 2 4 3 c 2 0 3 d 0 4 3 考点三 求空间中两点间的距离 例3 1 abc三个顶点的坐标为a 1 2 11 b 4 2 3 c 6 1 4 则 abc的形状为 a 正三角形b 锐角三角形c 直角三角形d 钝角三角形 2 到点a 1 1 1 b 1 1 1 的距离相等的点c x y z 的坐标满足 a x y z 1b x y z 1c x y z 4d x y z 0 变式探究 3 1 已知a 1 2 3 b 3 1 4 则 ab 2 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 ab 的最小值为 3 已知点a 1 2 1 点c与点a关于平面xoy对称 点b与点a关于x轴对称 则bc长为 考点四 建立适当的空间直角坐标系求空间图形中的长度问题 例4 已知棱长为1的正方体中abcd a1b1c1d1中 f是bd的中点 g在棱cd上 且cg cd e为c1g的中点 求ef的长 思路点拨 建立空间直角坐标系 用坐标法 求出线段的长 点评 本题的求解方法有多种 但利用坐标法求解 应该说是既简捷又易行的方法 通过方法的对照比较 体现了坐标法解题的优越性 变式探究 4 正方体的棱长为2a 如图建立空间直角坐标系 点p在对角线a1c上 点q在棱d1d上 1 当q为d1d的中点 点p在a1c上运动时 求 pq 的最小值 2 当p q分别在a1c d1d上运动时 求 pq 的最小值 1 空间直角坐标系 1 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 2 会求空间某点关于坐标平面 坐标轴的对称点的坐标 3 会推导空间两点间的距离公式和中点坐标公