高考数学 第七章 第七节空间向量及其运算课件 理.ppt

第七节空间向量及其运算 0 1 相同 相等 相反 相等 平行或重合 平面 1 空间向量的概念 大小 方向 2 空间向量的加 减 数乘运算空间向量的加 减 数乘运算是平面向量运算的推广 如图 设a b是空间任意两向量 若p oc 加法 减法 数乘 r a b a b a 空间向量加法 数乘运算满足的运算律 交换律 a b 结合律 a b c a r r 分配律 a b r b a a b c a a b 即时应用 判断下列命题的正误 请在括号内填 或 1 空间任意五边形abcde 则 2 若a b 则a所在直线与b所在直线平行 3 空间任意两非零向量a b共面 4 空间向量a平行于平面 则a所在直线平行于平面 解析 由向量加法知 1 正确 当a b时 a与b所在直线平行或重合 故 2 是错误的 由于向量可平移 因此空间任意两非零向量都可平移到同一起点 故空间任意两非零向量共面 即 3 是正确的 a所在的直线可能在平面 内 故 4 是错误的 答案 1 2 3 4 3 空间向量的数量积两个空间向量a b 从空间任意一点o出发作则 aob就是 a b的数量积a b 特别地 a2 a a a 2 a a b 0 a b a b所成的角 a b cos 空间向量的数量积满足如下运算律 1 a b 2 a b 3 a b c a b b a a b a c 即时应用 1 思考 对于实数a b 若ab 0 则一定有a 0或b 0 而对于向量a b 若a b 0 则一定有a 0或b 0吗 提示 不一定 因为当a 0且b 0时 若a b 也有a b 0 2 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 那么b 2a b 等于 解析 b 2a b 2b a b2 2 4 4cos120 42 0 答案 0 4 空间向量的分解与坐标定理1设是空间中三个 的 向量 则 1 空间中任意一个向量可以写成这三个向量的线性组合 2 上述表达式中的系数x y z由唯一决定 即如果则 其中组成空间的一组基 有序数组 x y z 称为在这组基下的坐标 两两垂直 单位 x x y y z z 定理2 空间向量基本定理 设是空间中三个 的 向量 则 1 空间中任意一个向量可以写成这三个向量的线性组合 2 上述表达式中的系数x y z由唯一决定 即 如果则 不共面 单位 x x y y z z 即时应用 1 已知a 1 0 2 b 6 2 1 2 若a b 则 2 已知向量a b c是空间中三个两两垂直的单位向量 向量a b a b c组成空间的一组基 若向量p在基向量a b a b c下的坐标为 则向量p在基向量a b c下的坐标为 解析 1 由a b得a kb 从而得解得故 2 由条件得故向量p在基向量a b c下的坐标为 1 2 3 答案 1 2 1 2 3 5 点的坐标与向量坐标 1 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标 2 两点a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 的距离dab 3 线段的中点坐标 等于线段两端点坐标的 终点 起点 平均值 6 空间向量运算的坐标公式 1 向量的加减法 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 y1 z1 x2 y2 z2 2 向量与实数的乘法a x y z x1 x2 y1 y2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 ax ay az 3 向量的数量积 x1 y1 z1 x2 y2 z2 4 求向量的模的公式 5 求向量 x1 y1 z1 x2 y2 z2 所成的角 的公式cos x1x2 y1y2 z1z2 即时应用 1 已知空间三点a 1 1 1 b 1 0 4 c 2 2 3 则与的夹角 的大小是 2 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 b a 的最小值为 解析 1 由题意知 2 1 3 1 3 2 故所以 2 由题意得 b a 1 t 2t 1 0 当t 时 b a 取得最小值为答案 1 2 热点考向1空间向量的线性运算 方法点睛 空间向量线性运算的方法 空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同 提醒 进行向量的加法运算时 若用三角形法则 必须使两向量首尾相接 若用平行四边形法则 必须使两向量共起点 进行向量减法时 必须使两向量共起点 例1 1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 化简 用表示 则 2 如图在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd是平行四边形 e f g分别是a1d1 d1d d1c1的中点 试用向量表示 用向量方法证明平面efg 平面ab1c 解题指南 1 用已知向量表示未知向量时 在转化时要结合向量的线性运算 2 结合四棱柱的特征及向量的线性运算用表示 利用向量共线可得线线平行 继而可证面面平行 规范解答 1 方法一 方法二 答案 1 2 设 由题干图得即 由题干图得 与无公共点 eg ac eg 平面ab1c 又 与无公共点 fg ab1 fg 平面ab1c 又 fg eg g 平面efg 平面ab1c 互动探究 本例中 1 的条件不变 结论改为 设e是棱dd1上的点 且 若 试求x y z的值 解析 反思 感悟 1 用不共面的向量表示某一向量时 关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中 然后根据三角形法则或平行四边形法则 把未知向量用已知向量表示出来 2 应用共线向量定理 共面向量定理证明点共线 点共面的方法比较 变式备选 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设 m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示下列各向量 1 2 3 解析 热点考向2空间向量的坐标运算 方法点睛 1 求向量的数量积的方法 1 设向量a b的夹角为 则a b a b cos 2 若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 根据已知条件 准确选择上述两种方法 可简化计算 2 求向量模的方法 1 2 若a x y z 则 例2 已知向量a 1 3 2 b 2 1 1 点a 3 1 4 b 2 2 2 1 求 2a b 2 在直线ab上 是否存在一点e 使得 b o为原点 解题指南 1 若m x y z 则 m 2 假设存在 点e在直线ab上 可由设出点e的坐标 由 b 0列方程求解 规范解答 1 a 1 3 2 b 2 1 1 2a b 0 5 5 2a b 2 假设存在点e 其坐标为e x y z 则即 x 3 y 1 z 4 1 1 2 e 3 1 2 4 3 1 2 4 又 b 2 1 1 b b 2 3 1 2 4 5 9 0 e 在直线ab上存在点e 使 b 反思 感悟 1 解答本题 1 需要利用向量的模的公式 当a x y z 时 a 2 当两个向量垂直时 其数量积为零 即若a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 0 变式训练 已知空间三点a 0 2 3 b 2 1 6 c 1 1 5 1 求以为边的平行四边形的面积 2 若 a 且a分别与垂直 求向量a的坐标 解析 1 由题意可得 2 1 3 1 3 2 设与的夹角为 则 以为边的平行四边形的面积 2 设a x y z 由题意得解得或 向量a的坐标为 1 1 1 或 1 1 1 热点考向3空间向量的数量积及其应用 方法点睛 数量积的应用 1 求夹角 设向量a b所成的角为 则cos 进而可求两异面直线所成的角 2 求长度 距离 运用公式 a 2 a a 可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 3 解决垂直问题 利用a b a b 0 a 0 b 0 可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 提醒 用a b a b cos 求向量的数量积时 关键是确定向量的长度及夹角 例3 1 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k 2 如图 在平行四边形abcd中 ab ac cd 1 acd 90 把 adc沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求bd的长 解题指南 1 利用两向量数量积等于零 列出方程求解即可 2 由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系 然后用表示 根据求解 规范解答 1 由题意得 ka b k 1 k 2 2a b 3 2 2 所以 ka b 2a b 3 k 1 2k 2 2 5k 7 0 解得答案 2 ab与cd成60 角 与的夹角为60 或120 又 ab ac cd 1 ac cd ac ab 2或 bd的长为2或 互动探究 本例 2 中若折起后bd的长为2 求此时ad与bc所成的角的余弦值 解析 由已知与的夹角为135 在 bdc中 由余弦定理得 ad与bc所成的角的余弦值为 反思 感悟 1 向量数量积为解决立体几何中的夹角 长度 垂直等问题提供了一种工具 使几何问题转化为数的计算问题 2 解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题 同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系 变式备选 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 1 2 eg的长 3 异面直线eg与ac所成角的大小 解析 设则 a b c 1 a b b c c a 60 即eg的长为 3 由 2 知 故异面直线eg与ac所成的角为45 1 2013 三明模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为棱aa1和bb1的中点 则sin的值为 解析 选b 设正方体的棱长为2 以d为原点建立如图所示空间直角坐标系 则 2 2 1 2 2 1 2 2013 宁德模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 给出以下向量表达式 其中能够化简为向量的是 a b c d 解析 选a 3 2013 龙岩模拟 已知o 0 0 0 a 1 2 3 b 2 1 2 p 1 1 2 点q在直线op上运动 当取最小值时 点q的坐标是 解析 o 0 0 0 p 1 1 2 1 1 2 点q在直线op上运动 故可设q点的坐标为 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 4