度高中数学 3.2.3 函数模型的应用实例同步辅导与检测课件 新人教A版必修1.ppt

3 2函数模型及其应用3 2 3函数模型的应用实例 函数的应用 1 能够找出简单实际问题中的函数关系式 初步体会应用一次函数 二次函数模型解决实际问题 体会运用函数思想处理现实生活和社会中的简单问题 2 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等 的实例 了解函数模型的广泛应用 基础梳理 1 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时 所得出的关于实际问题的数学描述 例如 已知一支钢笔3元 现需购x支 其需要钱数为y 则y与x的函数关系是 2 数学模型方法 是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法 例如 一个正方形边长为x 其面积为y 则y与x的函数关系是 y 3x x n y x2 x r 3 数学应用题的能力要求 1 阅读理解能力 2 抽象概括能力 3 数学语言的运用能力 4 分析 解决数学问题能力 4 解答应用题的基本步骤 1 合理 恰当假设 2 抽象概括数量关系 并能用数学语言表示 3 分析 解决数学问题 4 数学问题的解向实际问题还原 例如 一个细胞一次分裂成二个 第二次由这两个分裂成四个 等等 经x次分裂后得到y个细胞 则y与x的函数关系是 5 在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定 准确确定函数的定义域是建立函数模型解答实际问题的一个关键环节 不可忽视 6 数学模型来源于实践 是实际问题的抽象和概括 因此首先必须对实际问题要有深刻的理解 应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础 当然需要有较强的运算能力 例如 某种动物繁殖数量y只与时间x年的关系为y 3 2x 则第3年这种动物繁殖有 y 2x x n 24只 7 根据收集到的数据 作出散点图 然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型 再用得到的函数模型解决相应问题 这是函数应用的一个基本过程 例如 某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如下图所示 可选择的模拟函数模型是 a y ax bb y ax2 bx cc y aex bd y alnx b b 8 我们已经学习到的用来与实际问题拟合的函数有 一次函数 反比例函数 二次函数 指数型函数 对数型函数等 9 在求其具体解析式时用到的最重要的方法是 待定系数法 例如 已知y与x是一次函数关系 现已知当x 2时 y 6 当x 3时 y 8则y与x的函数关系是 y 2x 2 思考应用 1 在没有给出具体模型的问题中 如何建立函数模型 解析 首先画出散点图 然后根据散点图描绘出函数草图 联想熟悉的函数图象预测可能的函数模型 最后要检测所求函数模型与实际误差的大小 在多个模型中选择最优模型 关于函数拟合与预测的主要步骤有 根据原始数据 表格 绘出散点图 通过考察散点图 画出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上 滴 点 不漏 那么这将是个十分完美的事情 但在实际应用中 这种情况是不可能发生的 因此 使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧 使两侧的点大体相等 得出的拟合直线或拟合曲线就是 最贴近 的了 根据所学函数知识 求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 利用函数关系式 根据条件对所给问题进行预测和控制 为决策和管理提供依据 2 若已知函数模型的类型 如何确定函数模型的解析表达式 解析 已知函数模型的类型后 可以用待定系数法求函数模型的解析表达式 如一次函数模型可设y ax b 需两个条件求待定系数a b 二次函数模型可设y ax2 bx c a 0 需三个条件求待定系数a b c 指数型函数模型可设y kax b 需三个条件求待定系数k a b 自测自评 1 某地土地沙化严重 最近三年测得沙漠增加值分别为0 2万公顷 0 4万公顷和0 76万公顷 则沙漠增加值y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是 a y 0 2xb y x2 2x c y d y 0 2 log16x2 某人2009年7月1日到银行存入一年期款a元 若年利率x复利计算 则2012年7月1日可取款 a a 1 x 3元b a 1 x 4元c a 1 x 3元d a 1 x3 元 c a 3 制造印花机的成本y元与印花机的生产能力x米 分钟之间有函数关系y 已知印花机的生产能力达到每分钟花布1000米时 需投入成本50000元 问要使生产能力达到每分钟印花布1331米时 需投入成本是 元 60500 利用散点图拟合函数 建立函数模型 某皮鞋厂 从今年1月份开始投产 并且前4个月的产量分别为1万双 1 2万双 1 3万双 1 37万双 由于产品质量好 款式新颖 前几个月的销售情况良好 为了推销员在推销产品时 接受定单不至于过多或过少 需要估计以后几个月的产量 厂里分析 产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程 厂里暂时不准备增加设备和工人 假如你是厂长 将会采取什么办法估算以后几个月的产量 分析 作出图象如右图 图上可以得到四个点 a 1 1 b 2 1 2 c 3 1 3 d 4 1 37 解析 法一 一次函数模拟 设模拟函数为y ax b 将b c两点的坐标代入函数式 有解之得所以得y 0 1x 1 点评 此法的结论是 在不增加工人和设备的条件下 产量会月月上升1000双 这是不太可能的 法二 二次函数模拟 设y ax2 bx c 将a b c三点代入 有解得所以y 0 05x2 0 35x 0 7 点评 由此法计算4月产量为1 3万双 比实际产量少700双 而且 由二次函数性质可知 产量自4月份开始将月月下降 图象开口向下 对称轴x 3 5 不合实际 法三 幂函数模拟 设y a b 将a b两点的坐标代入有所以y 0 48 0 52 点评 把x 3和4代入 分别得到y 1 35和1 48 与实际产量差距较大 法四 指数函数模拟 设y abx c 将a b c三点的坐标代入 得解得所以y 0 8 0 5x 1 4 点评 比较以上四个函数的优劣 知选用y 0 8 0 5x 1 4模拟比较接近客观实际 其原因 一是误差小 二是新厂一段时间内产量会明显上升符合实际 跟踪训练 1 某人对东北一种松树的生长进行了研究 收集了其高度h 米 与生长时间t 年 的相关数据 选择y at b与y loga t 1 来刻画h与t的关系 你认为哪个符合 并预测第8年的松树高度 解析 据表中数据做出散点图如图 由图可以看出用一次函数模型不吻合 选用对数型函数比较合理 不妨代入 2 1 到y loga t 1 中 可得 1 loga3 所以a 3 故可用函数y log3 t 1 来拟合这个实际问题 当t 8时代入求得 h log3 8 1 2 答 可以预测第8年松树的高度为2米 函数图象相关的应用题 向高为h的水瓶中注水 注满为止 如果注水量v与水深h的函数关系的图象如右图所示 那么水瓶的形状是 解析 取水深h 时 注水量v v 即水深至一半时 实际注水量大于水瓶总水量之半 a中v c d中v 故排除a c d 答案 b 跟踪训练 2 某地一年的气温g t 单位 与时间t 月份 之间的关系如右图所示 已知该年的平均气温为10 令q t 表示时间段 0 t 的平均气温 q t 与t之间的函数关系用下列图象表示 则正确的应该是 a 几何问题中的函数关系 如下图所示 已知 o的半径为r 由直径ab的端点b作圆的切线 从圆周上任一点p引该切线的垂线 垂足为m 连ap 设ap x 1 写出ap 2pm关于x的函数关系式 2 求此函数的最值 跟踪训练 3 距离船只a的正北方向100海里处有一船只b 以每小时20海里的速度 沿北偏西60 角的方向行驶 a船只以每小时15海里的速度向正北方向行驶 两船同时出发 问几小时后两船相距最近 解析 设t小时后a行驶到点c b行驶到点d 则bd 20t bc 100 15t 过d作de bc于e 解析 每隔三年降低三分之一 每隔三年降低为原来的三分之二 九年后为7200 3 答案 b 一 选择填空题1 老师今年用7200元买一台笔记本电脑 电子技术飞速发展 计算机成本不断降低 每隔三年降低三分之一 九年后还值 a 7200 3b 7200 3c 7200 2d 7200 2 2 一个退休职工每年获得一份退休金 金额与他服务的年数的平方根成正比 如果多服务a年 他的退休金会比原来的多p元 如果他多服务b年 b a 他的退休金会比原来的多q元 那么他每年的退休金是 用a b p q表示 解析 设比例系数为k 服务年数为x 则每年的退休金为kx 根据题意有由 分别平方化简 两式相除 可得答案 d 利用函数拟合思想解决实际问题的基本过程为 2 通过本节学习 进一步熟悉数学建模的方法 能运用数学模型解决一定的关于市场经济的实际问题 提高解决数学应用题的应变能力