卫生管理运筹学目标规划.doc

第四章 目 标 规 划前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标函数，若干个约束条件的最优决策问题然而现实生活中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的，标准的度量单位也常常各不相同例如，在资源的最优利用问题中，除了考虑所得的利润最大，还要考虑使生产的产品质量好，劳动生产率高，对市场的适应性强等等目标规划（goal programming）正是在线性规划的基础上为适应这种复杂的多目标最优决策的需要，而从20世纪60年代初逐步发展起来的它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值，然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方案如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决策者参考 第一节 目标规划的基本概念与数学模型一、问题的提出例4-1 某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少于50kg，问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购最多数量的原料） 分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题 设分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg），为花掉的资金，为所购原料总量则：目标函数为： 约束条件有： 若只考虑花钱最少，则显然属于线性规划问题，由（4-1），（4-3）至（4-6）构成它的数学模型；若只考虑采购数量最多，也是一个线性规划问题，由式（4-2）至（4-6）构成它的数学模型，但现在两者同时都要考虑显然是一个多目标线性规划问题 例4-2 某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品，现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位利润如表4-1所示试确定计划期内的生产计划，使利润最大，同时厂领导为适应市场需求，尽可能扩大甲产品的生产，减少乙产品的生产，同时考虑这些问题，就形成多目标规划问题 表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表甲（每件）乙（每件）现有资源钢 材 （kg）9.243600木 材 (m3)452000设备负荷（台小时）3103000单位产品利润 (元)70120分析:设分别是计划期内甲、乙产品的产量则该问题的数学模型为 对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案极有可能出现：第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于第一方案就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性规划方法是无法解决的实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法目标规划 二、目标规划的基本概念我们不难得出多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1) （4-7） （4-8）矩阵表示为： (4-9)其他情况：如目标函数为 , 约束条件为“”，都可作适当的变换，调整为（4-9）的形式下面也称（4-9）式为目标规划的标准型 定义4-1 设, 称为多目标线性规划问题（简记为GP1）的可行解集合或可行解域 这个定义与线性规划问题中可行解集定义完全一样，因此，是一个凸集 定义4-2 设问题（GP1）的可行解集合非空，且对任意的都有，则称为问题（GP1）的最优可行解，简称最优解 最优解实际上是使所有目标同时达到最优值，如图41所示图4-1 目标规划解集示意图但更多的情况是：由于多目标之间存在相互矛盾，最优解往往不可能存在，这就要求我们退而求其次，根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，求出相对最优解有效解（满意解），为此引入以下概念，对目标函数和约束条件作适当处理 （一） 决策变量与偏差变量决策变量也称控制变量，用x1、x2、xn表示，如例4-1中的x1、x2等 在多目标规划问题中，由于目标之间存在冲突或约束条件中有矛盾方程，我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的约束条件，即从实际出发，根据经验、历史资料或市场的需求、上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标值ei, (i =1，2，m)一般说来，这些值ei 的确定并不要求十分精确或严格，允许决策的实际值大于或小于ei我们称实际值与目标值的差距为偏差变量(deviation variable)用表示 第i个目标的实际值超出目标值的部分，称为正偏差变量 第i个目标的实际值不足目标值的差距，称为负偏差变量规定0, (i =1，2，m) 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况：即由所构成的3种不同组合表示的含义： 表示第i个目标的实际值超出目标值；表示第i个目标的实际值未达到目标值；表示第i个目标的实际值恰好等于目标值并且无论发生哪种情况均有： 如在例4-2中，若提出目标y1的期望值e1= 45000元，y2的期望值e2=250件，y3的期望值e3=200件，则可引入偏差变量（i =1，2，3）, 表示利润超过45000元的数量，则表示利润距45000元还差的数量，表示甲产品产量超过250件的部分，这样可得三个目标函数方程 (4-10)（二） 目标约束与绝对约束前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量，把目标函数转化成约束方程，从而并入原约束条件中，我们称这类具有机动余地的约束为目标约束(goal restrictions)如例4-2的目标函数转化为目标约束（4-10）因它具有一定的弹性，一般目标约束不会不满足，只是可能偏差要大一些，故也称为软约束 绝对约束(absolute restrictions)是指必须严格满足的等式或不等式约束，也称为系统约束它对应于线性规划中的约束条件（如资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为不可行解，因此也称为硬约束 在一个规划问题中，有时会因为资源的短缺等原因，在约束条件中出现互相矛盾的方程此时，可行解集合是空集应用一般的线性规划方法，只能得出无解的结论而在实际的决策问题里，决策者需要采取一定的措施，或增加资源，或减少产量，综合平衡各方面的因素，寻求可行的方案而要找出哪种资源短缺，哪个产量指标过高，仍是解决问题的前提，采取一般的线性规划单纯形法解决这个问题显得十分困难而在目标规划中，将比较容易解决这个问题 我们设想将约束条件“放松”，对约束方程也引入偏差变量，使矛盾的方程不再矛盾！然后通过适当的方法，找出问题的关键，即需要增加的资源品种与数量或需降低的产品产量等，就会获得较好的决策效果这说明两种约束在一定条件下可以转换 例如：在例4-2中，若再增加约束条件：甲、乙两产品总的生产件数大于510，即：，显然它与约束条件中的：4x1+5x22000 矛盾！这样解空间成了空集但若对新加入的约束条件引入正、负偏差变量，可得约束方程由于 的作用，约束条件不再矛盾，可行解空间就非空了，我们便可应用后面介绍的方法求出相应的解，从而找出发生矛盾的关键因素及相应的数量，为进一步进行决策提供有力的依据 当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时，更一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量，从而把约束条件全部变为等式 （三） 目标规划的目标函数通过引入偏差变量，使原规划问题中的目标函数变成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？我们知道：对于满足绝对约束和目标约束的所有解（即可行解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好从而目标规划的目标函数就可由偏差变量构成它有三种基本表现形式： 要求恰好达到目标值的，即正、负偏差变量都要尽可能小 构造目标函数为： 要求不能超过目标值的，即允许达不到目标值，但即使超过，一定要越小越好构造目标函数为： 要求超过目标值的，即允许超过目标值，但即使不足，一定要使缺少量越少越好构造目标函数为：这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数如例4-2中的目标函数可表示为 其完整的目标规划模型为 （四） 优先因子与权系数目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目标的偏差可能相互替代或抵消，因为我们求的是所有偏差和最小，而实际问题中的目标之间也有主次、轻重、缓急之区别决策者往往有一些最重要的，第一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子(factor of priority )P1，在它实现的前提下再去解决次要目标依次把第二位达到的目标赋予优先因子P2 ，并规定Pk Pk+1，即不管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立PkMPk+1,表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是在保证P1级目标满足的前提下考虑的决不能因为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标的实现值一般地在目标规划模型中，绝对约束相应的目标函数，其优先等级一定是P1级 若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，则可分别赋予它们不同的权系数(可取一确定的非负实数)，根据目标的重要程度而给它们赋值，重要的目标，赋值较大，反之值就小如例4-2中，我们可把利润视作第一位重要，甲、乙产品的产量分配视作第二位，并且甲的产量越大越好，权重分别为10和2，则目标函数为：由上面分析看到，目标规划比起线性规划来适应面要灵活得多它可同时考虑多个目标，而且目标的计量单位也可以多种多样目标规划的目标约束，给决策方案的选择带来很大的灵活性并且由于目标规划中划分优先级和权系数的大小，使决策者可根据外界条件变化，通过调整目标优先级和权系数，求出不同方案以供选择但是，用目标规划来处理问题也存在困难，主要表现在构造模型时需事先拟定目标值、优先级和权系数，而这些信息来自人的主观判断，往往带有模糊性，很难定出一个绝对的数值 三、目标规划的数学模型其实通过上面分析，目标规划问题的数学模型已经清析可见，如例4-2中问题的模型为若把约束条件中的不等式全部化为等式约束，我们称之为“标准型” 例4-2中问题的标准型为st 一般地，对于n个决策变量，m个目标约束，目标函数中有k个优先级的目标规划问题，其数学模型的标准型如下：其中：Pi为优先等级；, 为权系数 综上所述，一个实际问题的目标规划模型的建立步骤为：1） 根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值（期望值），设定决策变量并列出目标约束与绝对约束；2） 根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量转换为目标约束；3） 给各级目标赋予相应的优先因子，对同一优先级的各目标，按重要程度不同赋予相应的权系数；4） 根据决策者的要求，各目标按三种情况取值：恰好达到目标值，取；允许超过目标值，取；不允许超过目标值，取然后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组成的、要求最小化的目标函数最重要的目标、必须严格实现的目标及无法再增加的资源约束均应列入P1级，其余按重要程度分别列入后面各级，并在同一级中确定权系数一般地，如果问题的P1级目标不能完全实现，则我们就认为该问题无不可行 例4-3 某制药公司有甲、乙两个工厂，现要生产A、B两种药品均需在两个工厂生产A药品在甲厂加工2h，然后送到乙厂检测包装2.5h才能成品，B药在甲厂加工4h，再到乙厂检测包装1.5h才能成品A、B药在公司内的每月存贮费分别为8元和15元甲厂有12台制造机器，每台每天工作8h，每月正常工作25天，乙厂有7台检测包装机，每天每台工作16h，每月正常工作25天，每台机器每小时运行成本：甲厂为18元，乙厂为15元，单位产品A销售利润为20元，B为23元，依市场预测次月A、B销售量估计分别为1500单位和1000单位 该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现次月的生产与销售目标 P1：厂内的储存成本不超过23000元 P2：A销售量必须完成1500单位 P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数 P4：甲厂的超过作业时间全月份不宜超过30h P5：B药的销量必须完成1000单位 P6：两个工厂的超时工作时间总和要求限制，其限制的比率依各厂每小时运转成本为准 试确定A、B药各生产多少，使目标达到最好，建立目标规划模型并化成标准型 解设分别表示次月份A、B药品的生产量，为相应目标约束的正、负偏差变量 （1）甲、乙两厂设备运转时间约束： 甲的总时间为81225=2400（h），乙的总工作时间为16725=2800（h），则：（2）公司内储存成本约束： （3）销售目标约束： （4）甲厂超时作业约束： （5）目标函数： 其中：6:5=18:15为运转成本比率 综合上述过程，可得该问题的目标规划模型：第二节 目标规划的图解法由于目标规划是在线性规划的基础上建立，并弥补了部分不足所以两种规划模型结构没有本质区别，解法也非常类似形式上的区别主要在于：线性规划只能处理一个目标，而目标规划能统筹兼顾地处理多个目标关系，以求得切合实际需求的解；线性规划是求满足所有约束条件的最优解，而目标规划是要在相互矛盾的目标或约束条件下找到尽量好的满意解；线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目标规划可根据实际需要给予轻重缓急的考虑 比如关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，使单个目标达到最优值（最大值或最小值）而目标规划是在可行域内，首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1，然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能满足的区域R2（R1），再在R2中寻找一个满足P3的各目标的区域R3（R2R1），,如此下去，直到寻找到一个区域Rk(Rk-1R1)，满足Pk级的各目标，这个Rk即为所求的解域，如果某一个Ri (1ik)已退化为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足P1,，Pi 级目标，而无法进一步改进，当然，此时或许有低于Pi级目标被满足，这纯属巧合 目标规划图解法的具体演算过程与线性规划图解法类似 第1步：根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的方法加以考虑 第2步：对P1级的各目标，确定解区域R1 第3步：对下一个优先级别Pi级各目标，确定它的最优解空间Ri，但必须是RiRi-1 ( i=2,3,)第4步：在这个过程中，如果某解区域Ri减小到一点，则可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能 第5步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri减少到一点或满足了所有k个级别的目标为止，此时，Rk即为这个目标规划的最优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解 例4-4 求解下面目标规划: 解将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变量（即），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后，在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映） 如图4-2 图4-2 图解法示意图按优先级高低，首先考虑P1级目标，要求，就在绝对约束的可行解域OAB中进一步缩小为OAC，记作R1；再考虑P2级目标，此时要求，因而解空间R2为OCD区域；最后考虑P3级，此时要求，由图4-2可知R3为四边形CDEF区域，这个区域内的任一点均是该问题的满意解，可使目标函数 由于C、D、E、F坐标分别为（6，3）、（9，0），（8，0），（48, 24）， 故满意解可表示为：其中：这种满足目标函数中所有目标要求的情况，即：，在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前面几级目标要求 例4-5 用图解法求解下面目标规划问题：解作图4-3： 图4-3 图解法示意图满足P1级的区域为R1，即OAB, 现在其中考虑P2级目标，由于直线l2与R1不相交，所以在R1内无法使，因此在不退化P1级目标时，不可能使P2级目标完全满足这样R2就缩为一点，因为在R1中，使达到最小的为C点：x* = (10 ,0), ,由于R2仅含有一个点，所以对P3级目标，我们已经无法进一步的选择与考虑，可求得，即目标函数为：此例中，之所以产生解域R2退缩为一个点，从而无法使P2，P3级目标达成，是因为P2级目标的期望值定得过高如果将它的目标值从26降到14，则可考虑到P3级目标，见图4-4 满足P1、P2级目标的可行解域为ACG ，进一步考察P3级目标可得最优解区域EFG，对该区域中任意一点，均同时能使P1，P2，P3级目标完全满足，这时问题的满意解不唯一一般地，目标要求确定得越低，可供选择的解越多，目标定得太高，满意解的选择余地也越小，甚至一些低级别的目标无法实现 图4-4调整后的图解法另外值得一提的是，在目标规划中，考虑低级别目标时，不能破坏已经满足的高级别目标，这是基本原则但它并不是说，当某一高级别目标不可能满足时，其后的低级别目标就一定不能满足而是在有些目标规划中，当某一优先级的目标不能满足时，其后的某些低级别目标仍可能被满足 第三节 目标规划的单纯形解法由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解这时，我们应该把目标优先等级系数Pi（i=1,2,k）理解为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的关系：P1 P2Pk检验数就是各优先因子P1,P2,Pk的线性组合，当所有检验数都满足最优性条件（）时，从最终表上即可得出目标规划的解 例4-6 用单纯形法求例4-4的解解引入松驰变量x3,将它们化为标准型：建立单纯形表，见表4-2，并把检验数用代数和表示，如：表示为：，其中“”是一种运算符号，表示向量的数量积运算 表4-2单纯形表cj000P100P2P30CBXBx1x2x3b0x3510100000060P11-201-1000000440001-10036P368000001-148-120010000P1000000100P2-6-80000001P30x30201-550000600x11-201-10000000120-441-10036P30200-66001-148000100000P1000000100P20-2006-60001P30x30011-100-11120x11002/5-2/5001/10-1/1024/50000-2/52/51-1-3/53/536/50x2010-3/103/10001/20-1/2012/5000100010P1000000100P2000000000P3计算步骤说明：1确定初始“基”（同线性规划单纯形法），计算检验数矩阵2最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行的，从P1级开始依次到Pk级为止，具体检验Pi级目标时，可能有下述三种情况 （1）若检验数矩阵的Pi行系数均0，则Pi级目标已达最优，应转入对Pi+1级目标的寻优，直到i=k，计算结束 如本题中第二段检验数部分，P1行各系数均0，故P1目标已达最优：（2）若检验数矩阵的Pi中有负系数，且负系数所在列的前i-1行优先因子的系数全为0，可判定该检验数为负，则选该系数（若此类负系数有多个，则可选绝对值最大者）所在列对应的非基变量为入基变量，继续进行基变换 如本题中初始基确定后，从检验数可确定出x1为入基变量，经变换后，再从检验数行看出，P3行的系数有两个负数-20和-6，它们所对应列的前两行元素全为0，故选-20对应的变量x2为入基变量，继续进行迭代变换 （3）若检验数矩阵的Pi行中有负系数，但负系数所在列的前i-1行优先因子的系数有0，也有正数（没有负数），即整个检验数的值可判为正（因Pi-1Pi），故也应转入对Pi+1级目标的寻优，否则会使高优先级别的目标函数值劣化 3基变换 入基变量的确定：依步骤2可确定入基变量 出基变量的确定：按最小非负比值规则确定出基变量，同线性规划的单纯形法 主元素的确定：出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即为主元素 迭代变换：同线性规划的单纯形法 4从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值 每个单纯形表中常数列b，即为各基变量的相应取值本题最后一个单纯形表已为最优，它对应的基本可行解：x1=24/5, x2=12/5, x3=12, =36/5，即为最优解这与图解法得到结果一致 值得一提的是： 在最优单纯形表中非基变量的检验数都是零，故知本题有多个最优解 如以为入基变量继续迭代，可得单纯形表4-3，如以为入基变量继续迭代，可得单纯形表4-4 目标规划可以用计算机进行数值逼近求解，只要适当注意优先因子与权系数的取值，就如同线性规划机器解一样，见第十三章表4-3 续单纯形表4-2cj000P100P2P30CBXBx1x2x3b0x3010/310000-5/65/6200x114/30 00001/6-1/6800-4/30001-1-2/32/340010/30-11001/6-1/68000100000P1000000100P2000000010P3表4-4 续单纯形表42：cj000P100P2P30CBXBx1x2x3b00011-100-11120x1101/10 1/2-1/200006000-3/5-111-10000x2011/20-1/41/400003000100000P1000000100P2000000010P3例4-7 某公司生产A、B两种药品，这两种药品每小时的产量均为1000盒，该公司每天采用两班制生产，每周最大工作时间为80小时，按预测每周市场最大销量分别为70000盒和45000盒A种药每盒的利润为2.5元，B种为15元试确定公司每周A、B两种药品生产量x1和x2（单位：千盒），使公司的下列目标得以实现：P1：避免每周80小时生产能力的过少使用 P2：加班的时间限制在10小时以内 P3：A、B两种药品的每周产量尽量分别达到70,000盒和45,000盒，但不得超出，其权系数依它们每盒的利润为准 P4：尽量减少加班时间 解 先建立这个问题的线性规划模型，依题意分别建立各项目标约束权系数是指它们在目标函数中的重要程度，由2.51.5=53，故：目标函数为：建立单纯形表运算如下：表4-5 单纯形表cj00P15P33P30P4P2CBXBx1x2bP1111000-10805P31001000 0 703P3010010004500000011-110 -1 -1000010P100000001P2-5-3000000P300000010P4P1011-100-1 0 100x110010000703P3010010004500000011-1100 -1 010010P100000001P20-3050000P300000010P40x2011-100-10100x110010000703P300-1110103500000011 -1 1000100000P100000001P2003200 -3 0P300000010P40x2011-1010-1200x110010000703P300-111-10125P40000011-1 1000100000P100000001P20032030-3P300000-101P4至此，由于P1 P2 P3P4 ，可知各检验数均非负，从而得最优解为：x1=70，x2=20，, , , , ,即生产A种药品70 000盒，B种药品20 000盒，P1，P2级目标可完全实现因，故每周需加班10小时，每周利润为：7000025+2000015=205000（元）第四节 目标规划应用举例目标规划是一种重要的多目标决策工具，有着广泛的实际应用，例如某高校有各类教职员工如下：助教、助研、讲师、教授助理、副教授、教授、兼职教师、专家及职工, 各类人员所承担的工作性质、工作量和工资各不相同，预计在下一学年要招收一定数量的本科生与研究生，现应用目标规划来确定聘用各类人员的人数，既要保持各类人员之间的适当比例，完成学校的各项工作，同时又要取得最好的经济效益设聘用各类人员的人数如下：x1助研（可由研究生兼任） y1教授助理（有博士学位）x2助教（可由研究生兼任） y2副教授（有博士学位）x3讲师 y3教授（有博士学位）x4教授助理（无博士学位） y4兼职教师（有博士学位）x5副教授（无博士学位） y5专家（有博士学位）x6教授（无博士学位） w1所有教职工的工资总基数x7兼职教师（无博士学位） w2所有教职工的工资比上一年的总增加数x8专家（无博士学位）x9职工现各类人员承担的工作量，工资及所占比例见表4-6 校方确定的各级决策目标为：P1：要求教师有一定的学术水平，即75%的教师是专职的，担任本科生教学工作的教师中，至少有40%的人具有博士学位担任研究生教学的至少有75%的人具有博士学位 P2：要求各类人员增加工资的总额不得超过176000美元，其中x1，x2和x9增加的工资数为其原工资数的6%，而其它人员为8% P3：要求能完成学校的各项教学工作，即学校计划招收本科生1820名、研究生100名要求为本科生每周开课共910学时，研究生每周开课100学时，并要求本科生教师与学生人数比为120，研究生教师与学生人数比为110 表4-6 各类人员工作量，工资及所占比例表变 量承担的教学工作量（学时/周）所占教师的百分比（%）年工资（美元）本科生研究生最大最小x100-3000 x2607-3000x31207-8000x49015-13000x5905-15000x6602-17000x7301-2000x803-130000x9-4000y163-2113000y263-1415000y333-2317000y4032-2000y503-230000P4：要求各类教学人员之间有适当的比例，即x2所占全体教师比例不超过7%，x3不超过7%，x4不超过15%，x5不超过5%，x6不超过2%，x7不超过1%，x8不低于1%，y1不低于21%，y2不低于14%，y3不低于23%，y4不超过2%，y5不低于2% P5：要求教师与行政管理职工x9之比不超过41P6：要求教师与助研x1的比不超过51 P7：要求所有人员总工资基数尽可能地小 如此可得如下各约束条件：（1） 75%的的教师是专职的:本科生教学中至少40%有博士学位：研究生教学中至少75%有博士学位：（2） 教学任务本科生：研究生：教师数：， （3） 教学人员比例：令T=（4） 教师与职工（x9）之比不超过41 ： （5） 教师与助研（x1）之比不超过51 ： （6） 全体人员工资增加总额 这里助研x1,助教x2和职工x9的工资增长率为6%，其它人员的工资增长率为8%，为目标期望值 （7） 全体人员工资总基数约束其中为目标期望值 目标优先级别如前面要求，在P3级中，校方认为有关研究生开设的课与师生之比的重要性是本科生的2倍，建立目标函数如下经计算可得这个问题的解为各级目标实现情况：P1级：（基本实现）教师的学术水平实现P2级：增加工资总额实现P3级：完成学校的各项教学工作目标实现，师生数比例实现 P4级：各类教师之间的比例实现P5级：教师与行政人员之比目标实现P6级：教师与助研人员之比例目标实现P7级：全体人员工资总基数超过了预期目标 （未实现）这时，学校只要能