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第五章一阶逻辑等值演算与推理 第1节一阶逻辑等值式与置换规则 第2节一阶逻辑的前束范式 第3节一阶逻辑推理理论 第1节一阶逻辑等值式与置换规则 一 基本等值式 二 基本规则 三 等值演算 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似 下面主要讨论关于量词的等值式 定义5 1设A B是一阶逻辑中任意两个公式 若A B是永真式 则称A与B是等值的 记做AB 称AB是等值式 一 基本等值式 第一组代换实例 由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式 因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式 例如 等都是的代换实例 又如 等都是的代换实例 第二组消去量词等值式 1 设个体域为有限域 则有 5 1 第三组量词否定等值式 1 设是任意的含有自由出现个体变项x的公式 则 5 2 第四组量词辖域收缩与扩张等值式 设是任意的含自由出现个体变项x的公式 B中不含x的出现 则 5 3 注意这些等值式的条件 5 4 第五组量词分配等值式 1 2 设是任意的含自由出现个体变项x的公式 则 5 5 二 基本规则 1 置换规则 设 A 是含公式A的公式 B 是用公式B取代 A 中所有的A之后的公式 若AB 则 A B 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同 只是在这里A B是一阶逻辑公式 设A为一公式 将A中某量词辖域中某约束变项的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的某个体变项符号 公式的其余部分不变 2 换名规则 设所得公式为A 则 3 代替规则 三 等值演算 例5 1将下面公式化成与之等值的公式 使其没有既是约束出现又是自由出现的个体变项 1 2 换名规则 换名规则 原公式中 x y都是既约束出现又有自由出现的个体变项 只有z仅自由出现 而在最后得到的公式中 x y z t w中再无既是约束出现又有自由出现个体变项了 还可以如下演算 也可以达到要求 解 1 代替规则 代替规则 例5 2证明 1 2 其中为含x自由出现的公式 证 1 只要证明在某个解释下两边的式子不等值 则为真命题 而 为假命题 对于 2 可以类似证明 奇数 代替 取 x是偶数 代替 取解释I 个体域为自然数集合N 取 x是 故两边不等值 例5 2说明 全称量词 对 无分配律 同样的 存在量词 对 无分配律 这是式 5 3 和式 5 4 中出现的两个等值式 但当换成没有x出现的B时 则有 1 2 3 例5 3设个体域为 将下面各公式的量词消去 解 1 2 公式5 3 如果不用公式 5 3 将量词的辖域缩小 演算过程较长 注意此时是与x无关的公式B 3 在演算中先消去存在量词也可以 得到结果是等值的 例5 4给定解释如下 1 个体域 2 中的特定元素 3 上的特定函数 4 上的特定谓词分别为 特
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