《谢奇之-工程力学》第六章应力状态分析及强度理论

工程力学 第六章应力状态分析及强度理论 2 第六章应力状态分析及强度理论 6 1应力状态概述 6 2二向应力状态分析 6 3应力圆及三向应力状态简介 6 4广义虎克定律与应变能密度 6 5强度理论 3 6 1应力状态概述 低碳钢 铸铁 1 问题的提出 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线 4 脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 低碳钢 铸铁 5 6 一般性结论 1 受力构件上应力随点的位置变化而变化 2 即使在同一点 应力也是随截面的方位变化而变化 过一点所有方位面上应力的集合 称之为这一点的应力状态 应力 指明 7 2 研究方法 单元体上没有切应力的面称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 分别用表示 并且只有主应力的单元体称为主应力单元 各边边长 单元体 8 3 应力状态分类 应力状态 1 单向应力状态 一个主应力不等于零 2 平面 二向 应力状态 两个主应力不等于零 3 空间 三向 应力状态 三个主应力都不等于零 复杂应力状态 一般来说 过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面 因而每点都有三个相互垂直的主应力 9 例6 1 画出如图所示梁S截面各点的应力状态单元体 10 1 2 3 11 例6 2 画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体 12 z 13 例6 3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态 薄壁圆筒的横截面面积 1 沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F 14 2 假想用一直径平面将圆筒截分为二 并取下半环为研究对象 15 例6 4 分析A点的应力状态 16 6 2二向应力状态分析 在二向应力状态下 已知通过一点的某些截面上的应力 互相垂直的截面 确定通过这一点的其它斜截面上的应力 从而确定该点的主平面和主应力 1 斜截面上应力 17 正负号规定 拉 压 对单元体内任一点取矩顺时针为正 逆时针为负 由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正 反之为负 正应力的角标表示作用面的法线方向 第一个角标表示作用面的法线方向 第二个角标表示切应力的方向 18 对隔离体列平衡方程 利用三角函数公式 且有 化简得 19 任意斜截面应力公式 20 确定正应力极值 设a a0时 上式值为零 即 2 正应力极值和方位 即 0的截面 正应力取极值 切应力为零 21 此截面的位置可由下式确定 主应力按代数值排序 s1 s2 s3 确定了两个相互垂直的平面 分别为最大和最小正应力所在平面 正应力极值 22 4 两个导出公式 3最大剪应力 23 例6 5 单元体的应力状态如图 求图示斜截面上的应力和smax smin tmax tmin及主平面和最大剪应力所在平面的方位 解 1 取坐标轴 2 已知条件命名 3 计算s30 t30 24 4 计算smax smin及主平面方位角 25 26 5 计算tmax tmin及其所在平面的方位角 27 二向应力状态分析的方法 计算任意斜面上的应力 确定主应力及主平面等 1 画出应力主单元体 若已知单元体的应力状态则省去这一步 2 取坐标轴 并写出已知应力 坐标轴应与应力单元体的边垂直 x轴与y轴可任意指定 可默认水平方向为x轴 垂直方向为y轴 3 利用相关公式 计算出指定斜面的应力 最大 最小正应力 主应力 及其对应的角度 最大 最小剪应力 4 确定主平面的方位 画出主应力单元体 则剪应力共同指向的平面为最大主应力所对应的平面 28 例6 6 求主应力 主平面并画出主应力单元体 解 1 取坐标轴 已知条件 2 计算主应力及其对应的角度 29 主平面方位角 主应力单元体 30 例6 7 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示 梁的横截面尺寸示于图中 试求出截面C上a b两点处的主应力 31 1 计算支反力 并画内力图 MC 80kN m FC左 200kN 解 2 取a点的应力单元体 FB 50kN FA 200kN 32 4 求a点主应力 33 4 横截面C上b点的主应力 b点的单元体如图所示 b点的三个主应力为 34 例6 8 两相交于一点处的斜截面上的应力如图 求该点的主应力 解 取应力单元体 sx 35 一 应力圆 将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方 然后相加便可消去 得 6 3应力圆及三向应力状态简介 36 因为 x y xy皆为已知量 所以上式是一个以 为变量的圆周方程 圆心的坐标 圆的半径 此圆习惯上称为应力圆 或称为莫尔圆 应力圆上任一点的横坐标和纵坐标对应于某一斜截面上的正应力和切应力 37 1 建s t坐标系 选定比例尺 二 应力圆作法及对应关系 1 步骤 38 o 2 以x面上的正应力值和切应力为点的横坐标和纵坐标 描点D 4 连接DD 两点的直线与 轴相交于C点 5 以C为圆心 CD为半径作圆 该圆就是相应于该单元体的应力圆 3 以y面上的正应力值和切应力为点的横坐标和纵坐标 描点D 39 1 该圆的圆心C点到坐标原点的距离为 2 该圆半径为 2 证明 40 3 应力圆与单元体之间的对应关系 1 应力圆上的半径对应着单元体上某一截面 2 半径旋转方向与截面旋转方向一致 半径转过的角度是截面转过角度的两倍 与半径对应的应力圆上点的横坐标 纵坐标分别为截面的正应力和切应力 41 1 应力圆上的半径对应着单元体上某一截面 与半径对应的应力圆上点的横坐标 纵坐标分别为截面的正应力和切应力 42 q 2q 2 半径旋转方向与截面旋转方向一致 半径转过的角度是截面转过角度的两倍 43 三 应力圆的应用 1 求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径CD按方位角 的转向转动2 得到半径CE 圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 44 2 求主应力数值和主平面位置 1 主应力数值 A1和B1两点为与主平面对应的点 其横坐标为主应力 1 2 45 2 主平面方位 由CD顺时针转2 0到CA1 所以单元体上从x轴顺时针转 0 负值 即到 1对应的主平面的外法线 0确定后 1对应的主平面方位即确定 46 3 求最大切应力 G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 最大 最小切应力等于应力圆的半径 47 例6 9 应力单元体如图所示 x 1MPa y 0 4MPa xy 0 2MPa yx 0 2MPa 1 绘出相应的应力圆 2 确定此单元体在 30 和 40 两斜面上的应力 解 1 选好比例尺画应力圆 量取OA x 1 AD xy 0 2 定出D点 OB y 0 4和 BD yx 0 2 定出D 点 以DD 为直径绘出的圆即为应力圆 48 将半径CD逆时针转动2 60 到半径CE E点的坐标就代表 30 斜截面上的应力 2 确定 30 斜截面上的应力 3 确定 40 斜截面上的应力 将半径CD顺时针转2 80 到半径CF F点的坐标就代表 40 斜截面上的应力 49 只需知道过一点任意两个面上的应力 就可画出应力圆进行应力状态分析 用图解法分析一点应力状态的方法 1 画应力圆 1 分别以两个面上的正应力和切应力为横坐标和纵坐标 在s t坐标系中描出两点 2 若两平面相互垂直 则对应两点的连线即为直径 连线与横坐标的交点为圆心 3 若两平面不相互垂直 对应两点的连线不垂直于横坐标 则该连线的垂直平分线与横坐标的交点为圆心 圆心到任一点的距离为半径 4 若两平面不相互垂直 对应两点的连线垂直于横坐标 则过其中一点作一条与该连线夹角为两平面夹角一半的射线 该射线与横坐标的交点为圆心 圆心到任一点的距离为半径 50 2 通过应力圆进行应力状态分析 1 求斜截面上的应力值 根据斜截面与应力已知平面的夹角a 从代表已知平面的半径旋转相应的2a角 得到对应于斜截面的半径 与半径相应的应力圆上点的坐标就是斜截面上的应力值 2 求主应力及主平面方位角 应力圆与横坐标的交点对应于主平面 这两个点的横坐标就是主应力 在横坐标上从右到左依次为s1 s2 s3 另外 根据转向对应及两倍角关系 即可确定主平面方位角 3 求最大 最小切应力 最大 最小切应力的绝对值等于应力圆的半径 51 例6 10 已知受力构件的A点处于平面应力状态 过A点两斜截面上的应力圆如图 试用应力圆求该点的主应力 主平面和最大剪应力 解 作应力圆 从n1顺时针转动180即为最大主应力的外法线方向 主平面位置如图 从应力圆上量得 52 解 可得应力圆上两点 CD1与CD2的夹角为1200 由此可画出应力圆 由应力圆可计算出 用图解法解例6 7 两相交于一点处的斜截面上的应力如图 试用应力圆求该点的主应力 并画出主应力单元体 53 54 四 三向应力状态简介 对三向应力状态的要求 三个主应力均已知 三个主应力中至少有一个主应力及其主方向是已知的 定义 三向应力状态 三个主应力均不为零的应力状态 55 至少有一个主应力及其主方向已知 可先化为平面应力状态求出另两对面上的主应力和主方位 再按三个主应力均已知的情况考虑 56 平行于s1的方向面 其上之应力与s1无关 于是由s2 s3可作出应力圆I 平行于s2的方向面 其上之应力与s2无关 于是由s1 s3可作出应力圆II 平行于s3的方向面 其上之应力与s3无关 于是由s1 s2可作出应力圆III 三个主应力均已知的情况 57 s1 s2 s3 58 tmax 例6 11 作图示单元体的应力圆并在图中标出最大剪应力 59 1 3 平面应力状态特点 其中一个主应力等于零的三向应力状态 60 例6 12 单元体的应力如图所示 作应力圆 并求出主应力和最大切应力值 解 该单元体有一个已知主应力 61 由 x xy定出D点 由 y yx定出D 点 以DD 为直径作应力圆 1 3 3 26MPa 该单元体的三个主应力 1 46MPa 2 20MPa 根据上述主应力 作出三个应力圆 2 62 3 26MPa 该单元体的三个主应力 1 46MPa 2 20MPa 解法2 解析法 63 6 4广义虎克定律与应变能密度 1 简单应力状态下虎克定律 正应力仅引起线应变 正应变 剪应力仅引起自身平面内的剪应变 应用条件 p 小变形和各向同性材料 64 2 复杂应力状态下的广义虎克定律 65 66 某点在某方向上的线应变与该点三个互相垂直方向的正应力有关 三个互相垂直的平面 各平面内的剪应变仅与自身平面内的剪应力有关 67 若单元体是主单元体 即各面上的应力为主应力 则各方向的应变即为主应变 其大小为 各平面的剪应变 为零 68 对于平面应力状态 假设 z 0 xz 0 yz 0 69 例6 13 测得A点处的 x 400 10 6 y 120 10 6 已知 E 200GPa 0 3 求A点在x和y方向上的正应力 解 取应力单元体 平面应力状态 解得 能否求出任一横截面任一点上的正应力及切应力 变形 强度校核 70 例6 14 支梁由18号工字钢制成 其上作用有力F 15kN 已知E 200GPa 0 3 求 A点沿00 450 900方向的线应变 h 4 71 解 z 72 73 例6 15 边长a 0 1m的铜立方块 无间隙地放入体积较大 变形可略去不计的钢凹槽中 如图所示 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比m 0 34 当受到F 300kN的均布压力作用时 求该铜块的主应力及最大切应力 解 铜块横截面上的压应力 变形条件为 74 解得 铜块的主应力为 最大切应力 75 讨论 2 76 应变能密度 微元应变能 77 由功能原理 得 所以变形比能 78 形状改变比能 体积改变比能 79 6 6强度理论 目的 建立危险点处于复杂应力状态下的失效判据及强度条件 拉压变形时材料的强度失效判据及强度条件 失效判据 强度条件 失效形式 塑性材料 脆性材料 断裂 屈服 关键是找出极限应力 屈服极限或强度极限 如何找出极限应力 通过材料的拉压实验 80 如何建立复杂应力状态下的失效判据及强度条件 1 确定失效形式 塑性材料 屈服 脆性材料 断裂 2 假定失效的主要原因 强度理论 关于材料强度失效主要原因的假说 材料无论处于复杂应力状态还是处于简单应力状态 引起同一形式失效的因素是相同的 通过材料的相应应力状态下的实验 失效因素的极限值与应力状态无关 通过材料的轴向拉伸实验找出失效因素的极限值 3 确定引起失效因素的极限值 81 断裂准则 脆性材料 最大拉应力理论 第一强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要最大拉应力达到只与材料性质有关的某一极限值 材料就发生断裂 失效判据 强度条件 82 最大伸长线应变理论 第二强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要最大伸长线应变达到只与材料性质有关的某一极限值 材料就发生断裂 失效判据 强度条件 83 屈服准则 塑性材料 最大切应力准则 第三强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要发生屈服 都是由于最大切应力达到了只与材料性能有关的极限值 强度条件 失效判据 84 形状改变比能准则 第四强度理论 无论材料处于什么应力状态 只要发生屈服 都是由于微元的形状改变比能达到某一极限值 85 失效判据 强度条件 86 把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r称为复杂应力状态的相当应力 87 莫尔强度理论 任意一点的应力圆若与极限曲线相接触 则材料即将屈服或剪断 88 公式推导 89 1 适用范围 2 塑性材料选用第三或第四强度理论 3 在三向拉应力相近时 无论是塑性还是脆性都将以断裂的形式失效 故选用第一或第二强度理论 各种强度理论的适用范围及其应用 1 一般脆性材料选用第一或第二强度理论 4