高考数学第一轮总复习 2.9 函数模型及其应用课件 文 新人教A版.ppt

第九节函数模型及其应用 知识梳理 1 指数 对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴 2 常见的几种函数模型 1 直线模型 y 型 图象增长特点是直线式上升 x的系数k 0 通过图象可以直观地认识它 特例是正比例函数模型y 2 反比例函数模型 y 型 图象增长特点是y随x的增大而减小 3 指数函数模型 y a bx c b 0 b 1 a 0 型 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越快 底数b 1 a 0 常形象地称为指数爆炸 kx b k 0 kx k 0 k 0 4 对数函数模型 y mlogax n a 0 a 1 m 0 型 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值增大的速度越来越慢 底数a 1 m 0 5 幂函数模型 y a xn b a 0 型 其中最常见的是二次函数模型 a 0 图象增长特点是随着自变量的增大 函数值先减小 后增大 a 0 y ax2 bx c 6 分段函数模型 图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分别找出来 再将其合到一起 要注意各段自变量的取值范围 特别是端点 3 建立函数模型解决实际应用问题的步骤 1 审题 阅读理解 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 弄清数据的单位等 2 建模 正确选择自变量 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数y 2x的函数值在 0 上一定比y x2的函数值大 在 0 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会超过并远远大于y x 0 的增长速度 指数爆炸 是指数型函数y a bx c a 0 b 0 b 1 增长速度越来越快的形象比喻 幂函数增长比直线增长更快 指数函数模型 一般用于解决变化较快 短时间内变化量较大的实际问题中 其中正确的命题是 a b c d 解析 选d 错误 当x 0 2 和 4 时 2x x2 当x 2 4 时 x2 2x 正确 由两者的图象易知 错误 增长越来越快的指数型函数是y a bx c a 0 b 1 错误 幂函数y xn 01 的增长速度比直线y x x 1 的增长速度慢 正确 根据指数函数y ax a 1 函数值增长特点知 正确 2 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 a y 2xb y log2xc y x2 1 d y 2 61cosx 解析 选b 由表格知当x 3时 y 1 59 而a中y 23 8 不合要求 b中y log23 1 2 接近 c中y 32 1 4 不合要求 d中y 2 61cos3 0 不合要求 故选b 3 2013 湖北高考 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是 解析 选c 距学校越来越近则图象下降 交通堵塞时距离不变 后加速行驶 直线变陡 4 某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第2年有100只 到第8年它们发展到 a 200只b 300只c 400只d 500只 解析 选a 由已知得100 alog3 2 1 得a 100 则当x 8时 y 100log3 8 1 200 只 5 某种储蓄按复利计算利息 若本金为a元 每期利率为r 存期是x 本利和 本金加利息 为y元 则本利和y随存期x变化的函数关系式是 解析 已知本金为a元 利率为r 则1期后本利和为y a ar a 1 r 2期后本利和为y a 1 r a 1 r r a 1 r 2 3期后本利和为y a 1 r 3 x期后本利和为y a 1 r x x n 答案 y a 1 r x x n 6 2014 吉首模拟 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元 并且每生产一单位产品 成本增加10万元 又知总收入k是单位产品数q的函数 k q 40q q2 则总利润l q 的最大值是 万元 解析 由已知得l q k q 10q 2000 40q q2 10q 2000 q 300 2 2500 所以当q 300时 l q max 2500 万元 答案 2500 考点1用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程 典例1 1 2014 三明模拟 如图 下面的四个容器高度都相同 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 注满为止 用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系 其中不正确的有 a 1个b 2个c 3个d 4个 2 2013 江西高考 如图 半径为1的半圆o与等边三角形abc夹在两平行线l1 l2之间 l l1 l与半圆相交于f g两点 与三角形abc两边相交于e d两点 设弧fg的长为x 0 x y eb bc cd 若l从l1平行移动到l2 则函数y f x 的图象大致是 解题视点 1 根据实际问题中两变量的变化过程 结合容器中水面的高度h与时间t的关系作出选择 2 注意到弧fg所对的圆心角为x 可构造y关于x的三角函数 借助于三角函数的图象可解决 规范解答 1 选a 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中 容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来 图 应该是匀速的 故下面的图象不正确 中的变化率是越来越慢的 正确 中的变化规律是逐渐变慢再变快 正确 中的变化规律是逐渐变快再变慢 也正确 故只有 是错误的 2 选d abc的高为圆的半径1 可求边长为弧fg所对的圆心角为x 所以o到fg的距离为则0 x 结合余弦函数的图象知选项d正确 规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1 构建函数模型法 当根据题意易构建函数模型时 先建立函数模型 再结合模型选图象 2 验证法 当根据题意不易建立函数模型时 则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点 结合图象的变化趋势 验证是否吻合 从中排除不符合实际的情况 选择出符合实际情况的答案 变式训练 2014 武汉模拟 如图 1 是反映某条公共汽车线路收支差额 即营运所得票价收入与付出成本的差 y与乘客量x之间关系的图象 由于目前该条公交线路亏损 公司有关人员提出了两种调整的建议 如图 2 3 所示 给出以下说法 图 2 的建议是 提高成本 并提高票价 图 2 的建议是 降低成本 并保持票价不变 图 3 的建议是 提高票价 并保持成本不变 图 3 的建议是 提高票价 并降低成本 其中所有正确说法的序号是 a b c d 解析 选c 对于图 2 当x 0时 函数值比图 1 中的大 表示成本降低 两直线平行 表明票价不变 故 正确 对于图 3 当x 0时 函数值不变表示成本不变 当x 0时 函数值增大表明票价提高 故 正确 加固训练 1 2013 北京模拟 某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18 经过x年 绿化面积与原绿化面积之比为y 则y f x 的图象大致为 解析 选d 设某地区起始年的绿化面积为a 因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18 所以经过x年 绿化面积g x a 1 18 x 因为绿化面积与原绿化面积之比为y 则y f x 1 18 x 1 18x 因为y 1 18x为底数大于1的指数函数 故可排除c 当x 0时 y 1 可排除a b 故选d 2 2014 石家庄模拟 在翼装飞行世界锦标赛中 某翼人空中高速飞行 如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v x 与时间x的关系 若定义 速度差函数 u x 为时间段 0 x 内的最大速度与最小速度的差 则u x 的图象是 解析 选d 由题意可得 当x 0 6 时 翼人做匀加速运动 v x 80 x 速度差函数 u x x 当x 6 10 时 翼人做匀减速运动 速度v x 从160开始下降 一直降到80 u x 160 80 80 当x 10 12 时 翼人做匀减速运动 v x 从80开始下降 v x 180 10 x u x 160 180 10 x 10 x 20 当x 12 15 时 翼人做匀加速运动 速度差函数 u x 160 60 100 结合所给的图象 故选d 3 2014 昆明模拟 如图 有一直角墙角 两边的长度足够长 在p处有一棵树与两墙的距离分别是a米 0 a 12 4米 不考虑树的粗细 现在想用16米长的篱笆 借助墙角围成一个矩形的花圃abcd 设此矩形花圃的面积为s平方米 s的最大值为f a 若将这棵树围在花圃内 则函数u f a 的图象大致是 解析 选c 设bc x 则cd 16 x 由得a x 12 s x 16 x x 8 2 64 当0 a 8时 f a 64 当8 a 12时 f a a 8 2 64 即故选c 考点2应用所给函数模型解决实际问题 典例2 1 2014 沈阳模拟 一个容器装有细沙acm3 细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出 tmin后剩余的细沙量为y ae bt cm3 经过8min后发现容器内还有一半的沙子 则再经过min 容器中的沙子只有开始时的八分之一 2 2014 宜昌模拟 某企业生产a b两种产品 根据市场调查与预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图1 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图2 注 利润和投资单位 万元 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数关系式 已知该企业已筹集到18万元资金 并将全部投入a b两种产品的生产 若平均投入生产两种产品 可获得多少利润 问 如果你是厂长 怎样分配这18万元投资 才能使该企业获得最大利润 其最大利润约为多少万元 解题视点 1 根据已知条件先确定所给函数模型中待定系数b 进而利用该模型求得所求 2 结合图象 利用待定系数法求得函数关系式 根据 所求函数模型求解 规范解答 1 依题意有a e b 8 a 所以若容器中的沙子只有开始时的八分之一 则有解得t 24 所以再经过的时间为24 8 16 min 答案 16 2 设a b两种产品分别投资x万元 x万元 x 0 所获利润分别为f x 万元 g x 万元 由题意可设f x k1x g x 根据图象可解得f x 0 25x x 0 g x x 0 由 得f 9 2 25 g 9 6 所以总利润y 8 25万元 设b产品投入x万元 a产品投入 18 x 万元 该企业可获总利润为y万元 所以当t 4时 ymax 8 5 此时x 16 18 x 2 所以当a b两种产品分别投入2万元 16万元时 可使该企业获得最大利润 约为8 5万元 规律方法 应用所给函数模型解决实际问题的关注点 1 认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数 2 根据已知利用待定系数法 确定模型中的待定系数 3 利用该模型求解实际问题 提醒 解决实际问题时要注意自变量的取值范围 变式训练 2014 三明模拟 已知甲 乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元 且乙厂在2月份的利润是8万元 若甲 乙两个工厂的利润 万元 与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型 f x a1x2 4x 6 g x a2 3x b2 a1 a2 b2 r 1 求函数f x 与g x 的解析式 2 求甲 乙两个工厂今年5月份的利润 3 在同一直角坐标系下画出函数f x 与g x 的草图 并根据草图比较今年1 10月份甲 乙两个工厂的利润的大小情况 解析 1 依题意 由f 1 6 解得 a1 4 所以f x 4x2 4x 6 2 由 1 知甲厂在今年5月份的利润为f 5 86万元 乙厂在今年5月份的利润为g 5 86万元 故有f 5 g 5 即甲 乙两个工厂今年5月份的利润相等 3 作函数图象如下 从图中可以看出今年1 10月份甲 乙两个工厂的利润 当x 1或x 5时 有f x g x 当1g x 当5 x 10时 有f x g x 加固训练 1 某工厂产生的废气经过过滤后排放 过滤过程中废气的污染物数量pmg l与时间th间的关系为p p0e kt 若在前5个小时消除了10 的污染物 则污染物减少50 所需要的时间约为h a 26b 33c 36d 42 解析 选b 由题意 前5个小时消除了10 的污染物 因为p p0e kt 所以 1 10 p0 p0e 5k 即污染物减少50 需要的时间约为33h 2 2014 郑州模拟 某化工厂打算投入一条新的生产线 但需要经环保部门审批同意方可投入生产 已知该生产线连续生产n年的累计产量为f n n n 1 2n 1 吨 但如果年产量超过150吨 会给环境造成危害 为保护环境 环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 a 5年b 6年c 7年d 8年 解析 选c 第n年的年产量因为f n n n 1 2n 1 所以f 1 3 当n 2时 f n 1 n n 1 2n 1 所以f n f n 1 3n2 n 1时 也满足上式 所以第n年的年产量为y 3n2 令3n2 150 所以n2 50 因为n n n 1 所以1 n 7 所以nmax 7 3 2014 苏州模拟 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目 经测算 该项目月处理成本y 元 与月处理量x 吨 之间的函数关系可近似地表示为且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元 若该项目不获利 国家将给予补偿 1 当x 200 300 时 判断该项目能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获利 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损 2 该项目每月处理量为多少吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 解析 1 当x 200 300 时 设该项目获利为s 则s 200 x x2 200 x 80000 x2 400 x 80000 x 400 2 所以当x 200 300 时 s 0 因此该项目不会获利 当x 300时 s取得最大值 5000 所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损 2 由题意 可知二氧化碳的每吨处理成本为 当x 120 144 时 x2 80 x 5040 x 120 2 240 所以当x 120时 取得最小值240 即x 400时 取得最小值200 因为200 240 所以当每月的处理量为400吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 考点3构建函数模型解决实际问题 考情 对函数模型应用的考查 以根据已知条件构建函数模型解决实际问题为热点考向 常与二次函数 基本不等式及导数等知识交汇 以解答题为主要形式出现 考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低 利润最高 产量最大 效益最好 用料最省等实际问题 高频考点通关 典例3 1 2013 陕西高考 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 m 2 2014 青岛模拟 已知一家公司生产某种产品的年固定成本为10万元 每生产1千件该产品需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且 写出年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 年产量为多少千件时 该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大 解题视点 1 根据相似三角形的性质将内接矩形的另一边用x表示 进而构建目标函数求最值 2 根据利润 收入 成本 其中成本包括固定成本和变化成本 列式得函数解析式 但要分段表示 在 得出式子的基础上选择适当的方法求最值 规范解答 1 设矩形高为y 由三角形相似得 且x 0 y 0 x 40 y 40 40 x y 当且仅当x y 20时 矩形的面积s xy取最大值400 答案 20 2 当0 x 10时 w xr x 10 2 7x 当x 10时 w xr x 10 2 7x 所以 i 当0 x 10时 由w 8 1 0 得x 9 当x 0 9 时 w 0 当x 9 10 时 w 0 所以当x 9时 w取得最大值 即wmax 8 1 9 93 10 38 6 ii 当x 10时 当且仅当即x 时 w取得最大值38 综合 i ii 知 当x 9时 w取得最大值为38 6万元 故当年产量为9千件时 该公司在这一产品的产销过程中所获利润最大 通关锦囊 特别提醒 1 构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 2 对构建的较复杂的函数模型 要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解 通关题组 1 2014 武汉模拟 如图所示 已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀 其中ae 4米 cd 6米 为了合理利用这块钢板 将在五边形abcde内截取一个矩形块bnpm 使点p在边de上 1 设mp x米 pn y米 将y表示成x的函数 求该函数的解析式及定义域 2 求矩形bnpm面积的最大值 解析 1 作pq af于q 所以pq 8 y eq x 4 在 edf中 所以定义域为 x 4 x 8 2 设矩形bnpm的面积为s 则s x xy x 10 x 10 2 50 所以s x 是关于x的二次函数 且其开口向下 对称轴为x 10 所以当x 4 8 时 s x 单调递增 所以当x 8时 矩形bnpm面积取得最大值48平方米 2 2014 厦门模拟 国家推行 节能减排 低碳经济 政策后 环保节能的产品供不应求 为适应市场需求 某企业投入98万元引进环保节能生产设备 并马上投入生产 第一年需各种费用12万元 从第二年开始 每年所需费用会比上一年增加4万元 而每年因引入该设备可获得年利润为50万元 请你根据以上数据 解决以下问题 1 引进该设备多少年后 该厂开始盈利 2 若干年后 因该设备老化 需处理老设备 引进新设备 该厂提出两种处理方案 第一种 年平均利润达到最大值时 以26万元的价格卖出 第二种 盈利总额达到最大值时 以8万元的价格卖出 问哪种方案较为合算 解析 1 设引进该设备x年后开始盈利 盈利额为y万元 则y 50 x 98 12x 4 2x2 40 x 98 令y 0 得10 x 10 因为x n 所以3 x 17 即引进该设备三年后开始盈利 2 第一种 年平均盈利为 12 当且仅当即x 7时 年平均利润最大 共盈利12 7 26 110 万元 第二种 盈利总额y 2 x 10 2 102 当x 10时 取得最大值102 即经过10年盈利总额最大 共计盈利102 8 110 万元 两种方案获利相等 但由于方案二时间长 采用第一种方案较合算 3 2014 长沙模拟 某工厂生产一种仪器的元件 由于受生产能力和技术水平的限制会产生一些次品 根据经验知道 其次品率p和日产量x 万件 之间大体满足关系 p 其中c为小于6的正常数 注 次品率 次品数 生产量 如p 0 1表示每生产10件产品 有1件为次品 其余为合格品 已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元 但每生产1万件次品将亏损1万元 故厂方希望定出合适的日产量 1 试将生产这种仪器的元件每天的盈利额t 万元 表示为日产量x 万件 的函数 2 当日产量为多少时 可获得最大利润 解析 1 当x c时 p 所以当1 x c时 p 所以综上 日盈利额t 万元 与日产量x 万件 的函数关系为 2 由 1 知 当x c时 每天的盈利额为0 当1 x c时 当且仅当x 3时取等号 所以 i 当3 c 6时 tmax 3 此时x 3 ii 当1 c 3时 由t 知 函数t 在 1 3 上递增 所以 此时x c 综上 若3 c 6 则当日产量为3万件时 可获得最大利润 若1 c 3 则当日产量为c万件时 可获得最大利润 加固训练 1 2012 江苏高考 如图 建立平面直角坐标系xoy x轴在地平面上 y轴垂直于地平面 单位长度为1千米 某炮位于坐标原点 已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx 1 k2 x2 k 0 表示的曲线上 其中k与发射方向有关 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 1 求炮的最大射程 2 设在第一象限有一飞行物 忽略其大小 其飞行高度为3 2千米 试问它的横坐标a不超过多少时 炮弹可以击中它 请说明理由 解析 1 令y 0 得kx 1 k2 x2 0 由实际意义和题设条件知x 0 k 0 故当且仅当k 1时取等号 所以炮的最大射程为10千米 2 因为a 0 所以 炮弹可击中目标 存在k 0 使3 2 ka 1 k2 a2成立 即关于k的方程a2k2 20ak a2 64 0有正根 所以判别式 20a 2 4a2 a2 64 0 解得a 6 所以当a不超过6千米时 可击中目标 2 2011 山东高考 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且l 2r 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为c c 3 千元 设该容器的建造费用为y千元 1 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 2 求该容器的建造费用最小时的r 解析 1 因为容器的体积为立方米 由于l 2r因此0 r 2 所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以建造费用定义域为 0 2 2 因为y 0 r 2 由于c 3 所以c 2 0 所以令y 0得 令y 0得 2时 即当3 c 时 函数y在 0 2 上是单调递减的 故建造费最小时r 2 当0 2时 即c 时 函数y在 0 2 上是先减后增的 故建造费最小时r 规范解答2 利用函数模型解决实际问题 典例 12分 2013 重庆高考