高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第五节指数与指数函数精讲课件 文.ppt

第五节指数与指数函数 第二章 例1 1 化简 指数幂的化简与求值 2 计算 自主解答 点评 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1 化简原则 化负指数为正指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数 注意运算的先后顺序 2 结果要求 若题目以根式的形式给出 则结果用根式表示 若题目以分数指数幂的形式给出 则结果用分数指数幂表示 结果不能同时含有根式和分数指数幂 也不能既有分母又有负指数幂 3 对于指数幂的运算 要熟练掌握运算法则和性质 否则极易出现诸如以下的错误 am n am n a m n n a 1 化简的结果是 变式探究 例2 1 2012 四川卷 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 指数函数图象特征及单调性的应用 2 试比较 这三个数的大小 思路点拨 本题主要考查指数函数的图象特征及利用指数函数的单调性比较大小的基本方法 自主解答 1 解析 法一 当a 1时 函数y ax 在r上单调递增 而当x 0时 y a0 1 因为a 1 所以0 1 故0 1 1 即函数图象与y轴的交点在坐标原点和 0 1 之间 显然可排除a b两项 当0 a 1时 函数y ax 在r上单调递减 而当x 0时 y a0 0 即函数图象与y轴的交点在x轴下方 故可排除c项 综上选d 法二 由函数解析式 可知当x 1时 y a 1 0 故函数图象必过定点 1 0 只有d选项中的图象满足 故选d 答案 d 2 解析 考查函数y x 由于该函数是减函数 故考查函数y x与函数y x 根据指数函数图象的分布规律知 在第一象限y x的图象位于y x的图象的上方 从而当自变量都取时 故 这三个数的大小关系是 点评 与指数函数有关的函数的图象的研究 往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 变式探究 2 已知函数y x 1 1 作出函数的图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 并写出函数的值域 解析 由函数解析式可得 y x 1 1 其图象由两部分组成 一部分是把y x x 0 的图象向左平移1个单位长度所得的y x 1 x 1 的图象 另一部分是把y 3x x 0 的图象向左平移1个单位长度所得的y 3x 1 x 1 的图象 如下图所示 2 由图象可知函数的单调递增区间为 1 单调递减区间为 1 3 当x 1时 函数有最大值为ymax 0 1 值域为 0 1 求与指数函数有关的函数的定义域与值域 例3 2013 宁波模拟 已知函数f x ax2 4x 3 1 若a 1 求f x 的单调区间 2 若f x 有最大值3 求a的值 3 若f x 的值域是 0 求a的值 解析 1 当a 1时 f x 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而y t在r上单调递减 x2 4x 3 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 2 令h x ax2 4x 3 f x h x 由于f x 有最大值3 所以h x 应有最小值 1 因此必有解得a 1 即当f x 有最大值3时 a的值等于1 即当f x 有最大值3时 a的值等于1 3 由指数函数的性质知 要使y h x 的值域为 0 应使h x ax2 4x 3的值域为r 因此只能a 0 因为若a 0 则h x 为二次函数 其值域不可能为r 故a的值为0 点评 与指数函数有关的函数一般是复合函数或是几个简单指数函数的代数和构成的函数 求这些函数的定义域和值域 要充分利用指数函数的图象和性质寻找解题方法 变式探究 3 如果函数y a2x 2ax 1 a 0 a 1 在区间 1 1 上的最大值是14 求a的值 解析 设t ax 则t 0 于是y f t t2 2t 1 t 1 2 2 当a 1时 t a 1 a ymax a2 2a 1 14 解得a 3或a 5 舍去 当0 a 1时 t a a 1 ymax a 1 2 2a 1 1 14 解得a 或a 舍去 a的值为3或 例4 解答下列问题 1 方程22x 1 9 2x 4 0的解集为 2 若关于x的方程25 x 1 4 5 x 1 m 0有实根 则m的取值范围是 思路点拨 解指数方程要先化为同底 再比较指数即可 或用换元法 利用指数函数的单调性 解决诸如指数方程 不等式的问题 解析 1 设2x t 则原方程可化为2t2 9t 4 0 解得t 或4 即2x 2 1或2x 4 22 x 1或2 即原方程的解集为 1 2 2 设y 5 x 1 则0 y 1 问题转化为方程y2 4y m 0在 0 1 内有实根 法一 设f y y2 4y m 其对称轴为y 2 f 0 0且f 1 0 得 3 m 0 法二 m y2 4y 其中y 5 x 1 0 1 m y 2 2 4 3 0 答案 1 1 2 2 3 0 点评 1 解指数方程要注意同解变形 所以验根是必不可少的一个环节 2 实质上是转化为一个关于t在某区间的二次函数的最值问题 借助换元法解题时 千万不要忽视了换元后 新元 的取值范围 不少同学在解答本题时 当换元后 误以为只要方程y2 4y m 0有实根就行了 从而直接由 4 2 4 m 0得m 4 得出m的取值范围为 4 这一错误结论 变式探究 4 1 设0ax2 2x 5的解集是 2 若函数y 4x 3 2x 3的值域为 1 7 则实数x的取值范围是 解析 1 0ax2 2x 5 2x2 3x 1 x2 2x 5 解得2 x 3 不等式的解集为 x 2 x 3 2 y 4x 3 2x 3 2x 2 3 2x 3 依题意有 2 2x 4或0 2x 1 由函数y 2x的单调性可得x 0 1 2 答案 1 x 2 x 3 2 0 1 2 指数函数与其他知识的综合运用 例5 已知f x ax a x a 0且a 1 1 判断f x 的奇偶性 2 讨论f x 的单调性 3 当x 1 1 时 f x b恒成立 求b的取值范围 解析 1 函数定义域为r 关于原点对称 又 f x a x ax f x f x 为奇函数 2 当a 1时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而y ax a x为增函数 f x 为增函数 当0 a 1时 a2 1 0 y ax为减函数 y a x为增函数 从而y ax a x为减函数 f x 为增函数 故当a 0且a 1时 f x 在定义域内单调递增 3 由 2 知f x 在r上是增函数 在区间 1 1 上为增函数 f 1 f x f 1 f x min f 1 a 1 a 1 要使f x b在 1 1 上恒成立 则只需b 1 故b的取值范围是 1 点评 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域问题 指数函数本身是非奇非偶函数 但是与指数函数有关的一些函数则可能是奇函数或偶函数 要注意使用相关的概念和性质解决问题 变式探究5 已知f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0 1 时 f x 1 求f