14平面直角坐标系

平面直角坐标系 1 4 1 为了指出李亮同学在教室里的座位 应当怎么说 李亮坐在第5组第2号 2 电影票上应当怎么写 观众才能在电影院里找到自己的座位 电影票上要写几排几号 从上述生活中的例子可以看到 为了在平面上确定一个点的位置 需要用一对有顺序的实数 简称为有序实数对 例如 李亮在教室里的座位可以简单地记作 5 2 观众王强的电影票上写的是12排26号 可以简单地记作 26 12 电影票上要写几排几号 从李亮在教室里的座位的例子可以看到 第5组是从横的方向来数的 第2号是从纵的方向来数的 为了用有序实数对表示平面内的一个点 需要用两根互相垂直的数轴 一根叫横轴 通常称x轴 另一根叫纵轴 通常称y轴 它们的交点O是这两根数轴的原点 横轴以向右为正方向 横轴与纵轴的单位长度通常取成一致 有时也可以不一致 这样建立的两根数轴构成平面直角坐标系 记作Oxy 纵轴以向上为正方向 O x y O 1 3 2 4 5 2 4 5 1 2 3 4 2 4 x y D B A C P M 图1 10 例如 在图1 10中 为了用有序实数对表示点M O 1 3 2 4 5 2 4 5 1 2 3 4 2 4 x y D C 图1 10 我们过点M作x轴的垂线 垂足为C x轴上的点C表示 4 再过点M作y轴的垂线 垂足为D y轴上的点D表示5 于是 4 5 就表示了点M 我们把 4 5 叫作点M的坐标 其中 4叫作横坐标 5叫作纵坐标 4 5 反之 为了指出坐标 5 2 的点 我们在x轴上找到表示5的点A O 1 3 2 4 5 2 4 5 1 2 3 4 2 4 x y D 图1 10 过A点作x轴的垂线 通常画成虚线 再在y轴上找到表示2的点B 过点B作y轴的垂线 通常也画成虚线 这两条垂线相交于点P 则点P就是坐标 5 2 的点 5 2 在建立了平面直角坐标系后 平面上的点与有序实数对一一对应 在平面直角坐标系中 两条坐标轴 即横轴和纵轴 把平面分成如图1 10所示的 四个区域 我们把这四个区域分别称为第一 二 三 四象限 坐标轴上的点不属于任何一个象限 如图1 11 在平面直角坐标系Oxy中 描出下列各点 并将各组的点顺次连结起来 仔细观察一下 你能看出它在向你微笑吗 1 A 2 2 B 4 1 C 6 2 2 D 3 5 3 5 E 3 3 F 5 3 G 4 5 3 5 3 H 1 5 5 I 2 5 3 J 2 5 5 4 K 5 5 5 I 6 5 3 J 6 5 5 图1 11 O y 1 3 2 4 5 5 1 2 3 4 x 6 7 6 1 A 2 2 B 4 1 C 6 2 2 D 3 5 3 5 E 3 3 F 5 3 G 4 5 3 5 图1 11 O y 1 3 2 4 5 5 1 2 3 4 x 6 7 6 3 H 1 5 5 I 2 5 3 J 2 5 5 4 K 5 5 5 L 6 5 3 M 6 5 5 点A 4 1 B 4 1 C 4 1 D 4 1 分别是哪个象限的点 点A 4 1 是第一象限的点 y O 1 3 2 4 2 4 1 2 3 4 2 4 x D 点B 4 1 是第二象限的点 点C 4 1 是第三象限的点 点D 4 1 是第四象限的点 根据 说一说 中的结论 你能说出在四个象限内点的坐标的特征吗 请填写下表 0 0 1 如图1 12 在平面直角坐标系Oxy 1 描出点P 2 1 Q 3 2 S 2 1 T 2 1 2 说出点A B C M N的坐标 O 1 3 2 2 1 2 2 x y N A C B M 图1 12 1 描出点P 2 1 Q 3 2 S 2 1 T 2 1 O 1 3 2 2 1 2 2 x y 图1 12 3 1 1 3 2 说出点A B C M N的坐标 图1 12 答 A的坐标为 2 0 B的坐标为 0 3 C的坐标为 2 3 M的坐标为 3 2 N的坐标为 0 1 2 图1 13是世界自然遗产九寨沟的几个景点的示意图 试建立平面直角坐标系 用坐标表示景点珍珠滩瀑布 熊猫海 犀牛海 树正则瀑布的位置 O x y 答 珍珠滩瀑布 8 6 熊猫海 11 9 犀牛海 7 3 树正则瀑布 6 1 图1 13 1 图1 14中 三角形AOB的顶点A B的坐标分别为 1 3 3 0 经过平移 三角形AOB变成了三角形 其中点的坐标为 2 0 试写出的坐标 平面上任一点P x y 在这个平移下的像为点 试问 点的坐标与点P的坐标之间有什么关系呢 从点O 的坐标为 2 0 可以看出 每一个点向右平移了2个单位 因此点A B 的坐标分别为 由于每一个点都向右平移了2个单位 因此点P 的坐标与点P 的坐标的关系为 同理 若每一个点都向左平移了k个单位 则点P 的坐标与点P的坐标的关系为 依次类推 若每一个点都向右平移了k个单位 则点P 的坐标与点P的坐标的关系为 公式 和 分别称为向右和向左平移公式 从点A O B 的坐标分别为 2 图1 14中 三角形在关于y轴的轴反射下 变成了三角形 试写出点 的坐标 平面上任意一点Q x y 在这个轴反射下的像为点 试问 点的坐标与点Q的坐标之间有什么关系呢 在关于y轴的轴反射下 点Q和像点Q 的横坐标互为相反数 纵坐标不变 因此点Q 的坐标与点Q的坐标之间的关系为 公式 称为关于y轴的轴反射公式 想一想 关于x轴的轴反射公式又是什么呢 图1 15是某校园的部分平面示意图 借助刻度尺和量角器回答下列问题 从这个例子你能不能看出 除了用平面直角坐标系描述点的位置外 还能用什么来描述点的位置吗 答 还可以用方位角加上直线距离来刻画点的位置 1 图1 16中 日字形图案ABCDEF的点A F的坐标分别为 1 4 2 4 经过平移 这个图案变成了另一个图案 其中点A 的坐标为 3 4 试写出点F 的坐标 答 F 4 4 图1 16 答 A 3 4 图1 16 2 图1 16中 日字形图案在关于y轴的轴反射下 变成了图案 试写出点A 的坐标 40 3 根据图1 15 回答下列问题 1 科学楼在校门的北偏西度的方向上 与校门的直线距离约为m 148 比例尺1 4000 2 体育场在校门的北偏东度的方向上 与校门的直线距离约为m 27 416 比例尺1 4000 例1 如图1 点A 2 0 B 0 C 0 1 以A B C三点为顶点画平行四边形 则第4个顶点不可能在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 C 本章讲了平方根 立方根的概念 引进了无理数 从而对于数的认识从有理数扩充到实数 还讲了平面直角坐标系 它使得平面上的点与有序实数对一一对应 1 每一个实数都有平方根吗 每一个实数都有立方根吗 答 每