高中数学 第二章 2.3 等差数列的前n项和 第二课时 等差数列前n项和的应用课件 新人教A版必修5.ppt

2 3等差数列的前n项和 第二课时等差数列前n项和的应用 课前预习 巧设计 名师课堂 一点通 创新演练 大冲关 第二章数列 考点一 考点二 n0 1课堂强化 n0 2课下检测 考点三 返回 读教材 填要点 1 等差数列前n项和的最值在等差数列 an 中 当a1 0 d0 sn有最小值 小问题 大思维 1 在等差数列 an 中 若a1 0 d 0或a10 d 0时 sn的最小值为a1 无最大值 当a1 0 d 0时 sn的最大值为a1 无最小值 2 若数列 an 的通项公式为an 2n 37 则当n为何值时sn取得最小值 提示 an 2n 37 an 1 an 2 0 an 为递增数列 由an 2n 37 0 得n 18 5 a180 s18最小 即当n 18时 sn取得最小值 3 等差数列前n项和sn与函数有哪些关系 提示 对于形如sn an2 bn的数列一定为等差数列 且公差为2a 记住这个结论 如果已知数列的前n项和可以直接写出公差 1 当a 0 b 0时 sn 0是关于n的常数函数 此时a1 0 d 0 2 当a 0 b 0时 sn bn是关于n的正比例函数 此时 a1 0 d 0 3 当a 0 b 0时 sn an2 bn是关于n的二次函数 此时d 0 4 若 an 是等差数列且d 0 则sn是关于n的不含常数项的二次函数 研一题 例1 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为sn 且s10 s15 求当n取何值时 sn有最大值 并求出它的最大值 将 a1 20 改为 a10 当n 12或13时 sn取最小值 悟一法 在等差数列中 求sn的最大 小 值 其思路是找出某一项 使这项及它前面的项皆取正 负 值或零 而它后面的各项皆取负 正 值 则从第1项起到该项的各项的和为最大 小 由于sn为关于n的二次函数 也可借助二次函数的图象或性质求解 通一类 1 在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 求前n项和sn的最大值 法三 先求出d 2 同法一 由s17 s9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 2 0 a1 25 0 a13 0 a14 0 故n 13时 sn有最大值169 研一题 例2 数列 an 的前n项和sn 33n n2 1 求证 an 是等差数列 2 问 an 的前多少项和最大 3 设bn an 求数列 bn 的前n项和s n 自主解答 1 证明 当n 2时 an sn sn 1 34 2n 又当n 1时 a1 s1 32 34 2 1满足an 34 2n 故 an 的通项为an 34 2n 所以an 1 an 34 2 n 1 34 2n 2 故数列 an 是以32为首项 2为公差的等差数列 2 令an 0 得34 2n 0 所以n 17 故数列 an 的前17项大于或等于零 又a17 0 故数列 an 的前16项或前17项的和最大 3 由 2 知 当n 17时 an 0 当n 18时 an 0 所以当n 17时 s n b1 b2 bn a1 a2 an a1 a2 an sn 33n n2 当n 18时 s n a1 a2 a17 a18 an a1 a2 a17 a18 a19 an 悟一法 等差数列的各项取绝对值后组成数列 an 若原等差数列 an 中既有正项 也有负项 那么 an 不再是等差数列 求和关键是找到数列 an 的正负项分界点处的n值 再分段求和 通一类 2 在等差数列中 a10 23 a25 22 1 该数列第几项开始为负 2 求数列 an 的前n项和 研一题 例3 一个水池有若干进水量相同的水龙头 如果所有水龙头同时放水 那么24min可注满水池 如果开始时全部放开 以后每隔相等的时间关闭一个水龙头 到最后一个水龙头关闭时 恰好注满水池 而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍 问最后关闭的这个水龙头放水多长时间 悟一法 解决实际问题首先要审清题意 明确条件与问题之间的数量关系 然后建立相应的数学模型 本题就是建立了等差数列这一数学模型 以方程为工具来解决问题的 通一类 3 假设某市2011年新建住房400万m2 其中有250万m2是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万m2 那么 到哪一年底 该市历年所建中低价房的累计面积 以2011年为累计的第一年 将等于4750万m2 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2020年底 该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米 等差数列 an 中 设sn为其前n项和 且a1 0 s3 s11 则当n为多少时 sn最大 解 法一 要求数列前多少项的和最大 从函数的观点来看 即求二次函数sn an2 bn的最大值 故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时 sn最大 法四 由s3 s11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 由于a1 0 可知d 0 所以a7 0 a8 0 所以当n 7时 sn最大 点评 求数列前n项和的最值问题的方