大学生数学建模全国一等奖.doc

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 19036001 所属学校（请填写完整的全名）： 肇庆学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李熠 2. 赖天安 3. 谢曼 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 钟一兵 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠型实用工具是创新商品中的典型代表，具有体型小巧便于使用的优点。本文主要在三维直角坐标系下，讨论平板折叠桌的折叠动态过程以及折叠桌优化设计的相关问题。对于问题一，根据桌面边缘方程和桌高，利用距离公式与直线方程，以最外侧木条的折叠角度为变量，求得折叠过程中，钢筋所在的直线方程，进而获得钢筋与各木条的交点，从而给出了木条所在直线方程。依据木条长度进一步得到动态变化的钢筋点坐标，也求得最外侧木条旋转角为时，第木条末端点坐标为：， ，由不同的旋转角度，即可获得各木条末端的动态变化图。在此基础上，可求得开槽长度（见表格八）和桌角边缘线的参数方程。根据此模型，我们分别计算不同旋转角度下的的端点数据（见表格五、六），由此得到各木条的动态旋转过程。该模型的动态变化过程见图六至八，桌角边缘线的空间曲线见图九至十二。对于问题二，当最外侧木条旋转角时，以和为决策变量（其中为最外侧木条钢筋点到上端点距离），求得各木条端点坐标及方程和木条下端点的动态坐标。进而得到目标函数：和以开槽长度的实际限制的约束条件：， ， 由此，我们建立了一个非线性优化模型，经过适当化简，运用MATLAB软件，计算得以上模型中折叠桌最优设计加工参数为：木板长度，（即最外侧木条折叠角为左右），开槽长度。对于问题三，我们以椭圆形桌面为例，建立与问题二相同的决策变量，先求得在某个旋转角度下的钢筋点位置，以及下端点的动态坐标： 再用类似问题二的目标函数与约束条件，获得非线性优化模型。最后，我们设定长轴为，短轴为，高度为时，得到木板长度为，随之计算出不同角度下的开槽长度，其中最优为当时，桌面一侧总开槽长度为，并画出其折叠过程的动态示意图（见图十五）。关键字：折叠椅、开槽长度、钢筋所在直线、非线性优化模型一、问题重述随着社会和科技的进步，消费者对于商品的要求越要越高，实用便捷又富有创意的商品往往受到大家的追捧，与此同时，丰厚的设计收益也不断推动着设计者的创新创作脚步。在这些新型商品中，可折叠的商品往往具有体型小巧便于携带，操作过程简单易懂，使用寿命较长，外形美观等优点，其中可折叠桌子就是一个突出创新成果。某公司的可折叠桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，外形如直纹曲面，并且由于木条加工设有开槽，它随着铰链的活动可以平摊成一张平板。本题要求我们建立数学模型，描述折叠桌子的折叠过程，并设计别的创新折叠桌，具体如下：1. 给定折叠桌的数据：长方形平板尺寸为；木条宽；连接木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置；折叠后桌子的高度为。试建立模型描述折叠桌的折叠动态过程，并求出它的设计加工参数：桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线。2.在满足产品稳固性好、加工方便、用材最少的条件下，对于桌高70 cm，桌面直径80 cm而其他设定不做要求的折叠桌，要怎么确定长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。现要求设计这一软件的数学模型，并根据所建立的模型给出几个新设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。二、模型假设1. 假设长方形平板加工切割成桌腿木条时没有切割多余材料，即确定有20条桌腿木条。2. 假设折叠过程中和折叠后，木条都没有发生形变。3. 问题二中，假设长方形木板切割成木条的条数仍为，木板的厚度仍为三、符号说明符号符号说明符号符号说明问题一折叠过程桌腿与轴构成的夹角问题二第根木条上端点坐标第条木条顶端坐标第根木条的长度旋转后第条木条钢筋位置的坐标第根木条上的钢筋点的坐标旋转后第条木条地面接触的末端坐标第根木条上末端点到钢筋的距离第条木条长度第根木条上钢筋点到上端点的距离第根木条折叠时的旋转平面第根木条钢筋点到木条上端点的距离折叠后第根木条钢筋点与顶端连接点的距离第根木条开槽长度折叠前第根木条钢筋点与顶端连接点的距离问题三椭圆的长轴第根木条开槽长度椭圆的短轴四、问题分析4.1问题一4.1.1问题解读据题意，同一块平板可由于桌面大小，桌子高度，桌腿条数，桌子稳定度等变量的参数不同而折叠成外形各不相同的折叠桌。（具体参数见图一）本问已经将这些影响因素设定了固定数据。在此问题中，我们应该选择一些变动点来体现动态过程。此外，折叠椅设计加工时需要在木条中某个区段开槽，以便折叠时中间的桌腿末端向内凹，而不至于因为钢筋而卡住。（图一）4.1.2解决思路首先讨论折叠后的情形，折叠过程则再进一步由改变变动点的参数来实现。我们可以运用几何知识来将各个点的位置量化，建立空间直角坐标系。在坐标系中，根据桌面的平面方程，得到钢筋所在直线的方程和每一条桌腿木条所在直线的方程，进一步得到每根木条的末端点的坐标，这些末端点就是两条桌角边缘线。最后，桌腿木条开槽长度由木条旋转角度，利用图形边角关系就可以计算得到。4.2问题二4.2.1问题解读这一问中，题目限定的数据只有桌高和桌面直径，而其他数据，如木条长度，桌腿宽度，钢筋点位置，开槽长度都没有明确要求。因此，考虑这些可变的量分别影响了折叠桌的哪些性能，反过来根据性能要求我们就可制定相应的参数。4.2.2解决思路在这个问题中，最重要的就是在保证稳固性好，加工方便的情况下，达到用材最少这一目标。所以需要假设木条钢筋点的位置，根据问题一的步骤，用包含有未知量计算出木条上端点，末端点等坐标。同样，我们就可以利用边角关系，计算出开槽长度等。最后，用这些数据再列出关于木条长度的目标方程，以及相关约束条件，即可计算求解。4.3问题三由前面两问，我们可以找到折叠桌各个量之间的联系，如木条钢筋点和折叠过程角度的关系等，所以对于设计折叠桌的设计加工参数，我们的求解步骤基本一致。我们要设计的这款软件模型中，折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小等是可以用数学表达式表达的。那么，我们的模型只需要在问题二的基础上，再改变各个参数，使之可以根据给定的桌面方程等数学表达式，得到各个木条钢筋点位置，上端点位置，末端点位置。这样就可以进行求解。根据这个思想，我们给定一个高度，并设计一个桌面边缘线为椭圆的折叠桌，求出对应参数。五、模型建立与求解5.1问题一：折叠桌动态过程及相关参数5.1.1建立模型以桌面中心点为原点，以长方形平板宽的方向为轴方向，以长方形平板长的方向为轴方向，建立三维直角坐标系。为了体现动态过程，我们假设折叠过程桌腿与轴构成的夹角为，则随着的改变，各木条与钢筋的交点位置和木条的底端位置都随之改变。为了方便理解，作图如下（图二）：（图二）建立数学模型如下：（1）设定桌面方程为（2）求左边各木条的顶端坐标，计算公式为：，其中为桌面半径。（3）计算各木条的长度，其中为木板长度。 （4）求每根木条折叠时的旋转平面方程：（5）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的末端坐标， 其中为左边最外侧的木条与轴的夹角。（6）折叠某一角度后桌面左边最外侧的木条的中点坐标，其中由对称性可得最外侧的木条的中点坐标，其中（7）折叠某一角度后钢筋所在的直线方程为。（8）由联立方程，可求得折叠某一角度后钢筋与各木头的相交点。（9）求开槽长度。其中表示折叠后各木条与钢筋交点到木条顶端的距离，表示折叠前木条钢筋点与顶端连接点的距离。（10）折叠某一角度后，每根木条的所在方程（11）折叠某一角度后，设桌面左侧每条木条的末端点坐标为，则令对桌面左侧木条，有5.1.2模型算法根据上述模型，为了更直观表现数据间的关系，现做出这个过程的算法框图（图三）：（图三）5.1.3模型求解过程本问中给定了折叠椅的一些固定量，包括：（1）制造折叠椅的材料是固定形状和大小的。也即长方形平板，尺寸大小为；（2）每条桌腿木条宽度为，由此可得桌面两侧连接各20条桌腿木条；（3）连接桌腿木条的钢筋位置固定在最外侧木条的处，不随桌子折叠而改变；（4）折叠后桌子高度不变，为。那么折叠桌成型后，桌面两侧桌腿构成的曲面的形状是相同的，在坐标系中值体现在数据的正负不同而已，因此以下过程我们只讨论其中一侧的桌腿木条，各木条分别按序记为第条木条，即。桌面另一侧类似可得，就不再赘述。（1）求桌面边缘方程。在建立了三维指教坐标系之后，我们首先可以根据圆在空间中的方程列出此时的桌面方程，且其中的为桌面半径，即。由此得到桌面空间方程为。（2）求每根木条上端点坐标。由于桌腿木条本身具有的宽度，为了方便计算，在下文的整个过程中我们取木条顶端的这个顶点的中心位置坐标作为木条顶端坐标，并令这个木条顶点是在桌面边沿的圆形上的。到此，我们可以得到第一根木棒在轴方向上的坐标值为。根据（1）中的桌面边沿方程，将代入，可计算出，另一方面，由于桌面厚度为，则这根木条顶端坐标的值为。用相同的计算方式，由于条桌腿木条顶端都在同一平面，则是固定不变的。在这个前提下，根据木条宽度为可推出这各坐标点轴方向的值是等差的，数学上表示为，接下来也依次计算出对应的。以上过程整理后便是。由于数据较多，我们用MATLAB直接编写代码（附录1）计算和，得到折叠完成后变成桌子时，个木条顶端坐标如下表：（表格一：个木条顶端坐标）i=1,5i=6,，10i=11,，15i=16,，20(-23.75,7.8062,-3)(-11.25,22.3257,-3)(1.25,24.9687,-3)(13.75,20.8791,-3)(-21.25,13.1696,-3)(-8.75,23.4187,-3)(3.75,24.7171,-3)(16.25,18.9984,-3)(-18.75,16.5359,-3)(-6.25,24.2061,-3)(6.25,24.2061,-3)(18.75,16.5359,-3)(-16.25,18.9984,-3)(-3.75,24.7171,-3)(8.75,23.4187,-3)(21.25,13.1696,-3)(-13.75,20.8791,-3)(-1.25,24.9687,-3)(11.25,22.3257,-3)(23.75,7.8062,-3)（3）求每根桌腿木条的长度。在折叠桌的折叠过程中，由于的改变，木条上各个点的位置都在改变，而只有木条长度是不变的，为了下面计算动态过程中的木条上各类点的坐标变化，我们先把木条长度求出。在折叠前，长方形木板平铺时，我们可以在平面上利用两点间的值差表示桌腿木条长度，记为，而这两个点分别是桌腿与桌面的连接点以及平铺时桌腿的末端点（如图四），记为，因此。（图四）由于平铺时，桌腿的末端点都在长方形木板的宽这条边上，所以是不变的。根据上述方法，我们可计算出的组数据，具体如下：（表格二：20条木条的长度）i=1,5i=6,，10i=11,，15i=16,，2052.193837.674335.031339.120946.830436.581335.282941.001643.464135.793935.793943.464141.001635.282936.581346.830439.120935.031337.674352.1938（4）求每根木条折叠过程的旋转平面。为了求得每跟木条的与钢筋的相交点坐标，我们先必须求得没跟木条在折叠过程旋转出的平面方程，记为。因为这些平面都平行于轴，因此可表示为，这些平面方程具体如下：（表格三：20个木条旋转出的平面方程）（5）求最外侧和最里侧木条的末端点坐标。木条折叠后桌腿与地面接触的两条木条末端点的坐标记为，根据旋转时构成的旋转面上，由木条和轴构成了个三角形。根据三角形的三角函数，在已知每条木条长度和旋转角度的条件下，我们可以求得这个木条末端点的坐标中的值和值。这个切面的三角形如图（图五）：（图五）在此，我们只先计算桌面一侧最边缘的两个木条与地面接触的末端坐标。值得注意的是，轴方向上，第一根木条的是为而不是，也就是说这个由木条构成的三角形的顶点并不是在原点上，所以计算出来的每一个值都需再加上。所以就得到，另外，轴方向上，需注意桌面厚度占用了。最后则得到随着变化的坐标的计算方程为，根据公式，运用代码的计算得到折叠完成后，折叠椅一侧边沿桌腿木条与地面接触的末端点坐标为：(-23.75,-22.7792,-53) (23.75,-22.7792,-53)（6）求最外侧和最里侧木条的钢筋点坐标。由上一个步骤算得的折叠后的木条末端点位置和（1）算得的木条顶端点位置，我们可以算出桌面一侧最边缘的两个木条的中心坐标，也就是钢筋的位置。这个过程较简单，但也同样需注意（5）中提到的桌面厚度占用了和木条构成的三角形的顶点并不是在原点上这两个问题对值的影响。根据可以得到折叠完成后，折叠椅一侧两条边沿桌腿木条中心坐标为：(-23.75,15.2928,-28)(23.75,15.2928,-28)（7）求钢筋所在直线方程。到目前为止，我们已经得到桌面一侧最边缘的两个木条的中心坐标，由两点可以确定一条直线的方程，而这条直线也就是钢筋的所在的直线。也就是，变形后得（8）求每根木条的钢筋点坐标。由木条旋转面和钢筋直线，一面一线可以确定面上的点，也就是各条木条的钢筋所在点。所以联立木条旋转面和钢筋直线，得，即可求出木条上的钢筋点。所以可得到完成折叠后，木条上钢筋所在点的位置坐标如下：（表格四：木条上钢筋所在点的位置坐标）i=1,5i=6,，10i=11,，15i=16,，20(-23.75,15.2928,-28)(-11.25,15.2928,-28)(1.25,15.2928,-28)(13.75,15.2928,-28)(-21.25,15.2928,-28)(-8.75,15.2928,-28)(3.75,15.2928,-28)(16.25,15.2928,-28)(-18.75,15.2928,-28)(-6.25,15.2928,-28)(6.25,15.2928,-28)(18.75,15.2928,-28)(-16.25,15.2928,-28)(-3.75,15.2928,-28)(8.75,15.2928,-28)(21.25,15.2928,-28)(-13.75,15.2928,-28)(-1.25,15.2928,-28)(11.25,15.2928,-28)(23.75,15.2928,-28)（9）求每根木条开槽长度。由于木条随着与桌面的连接点旋转，随着的改变，木条上钢筋的位置也在改变。所以在制造折叠桌时，需要设计木条的开槽长度，长度太长时，折叠桌会不稳固，长度太短时，折叠桌无法完成整个折叠过程。而这个开槽长度，我们用其中折叠后木条钢筋点与顶端连接点的距离和折叠前木条钢筋点与顶端连接点的距离之差来计算即可。也就是开槽长度为。利用相关代码计算，可得各木条开槽长度。结果见5.1.4模型结果（2）。（10）求每条木条的末端点坐标。根据每根木条的所在方程可算得每条木条与地面接触的末端点坐标为5.1.4模型结果（1）动态过程。动态过程随着第条木条的旋转角为改变，我们用随之改变的木条与钢筋相交点位置和木条末端位置来表现， 随变化其钢筋点位置和木条末端点位置变化分别为：根据上述模型，钢筋点具体坐标在模型求解中已得出，而各条木条的边缘点坐标因的改变而改变，此处我们计算出当的数据，具体见附录2，求解代码见附录3。此处只展现第和第时，木条的钢筋点位置和末端点位置坐标。（表格五：木条的钢筋点坐标位置变化）1(-23.75,-20.8547,-25.6006)(-23.75,-26.2595,-21.4533)(-23.75,-30.4068,-16.0484)20(23.75,-20.8547,-25.6006)(23.75,-26.2595,-21.4533)(23.75,-30.4068,-16.0484)（表格六：木条的末端点坐标位置变化）1(-23.75,-33.1781,-35.3182)(-23.75,-38.0867,-27.86)(-23.75,-43.6739,-20.5787)20(23.75,-33.1781,-35.3182)(23.75,-38.0867,-27.86)(23.75,-43.6739,-20.5787)所以，折叠动态过程时的动态图（图六）如下（代码见附录3）：（图六）而整个变化过程，可以用MATLAB画成，旋转得多角度图（图七、八）如下（代码见附录4）： （图七） （图八）（2）桌子高为时的参数。当桌子高为时折叠完成，此时条木条末端点位置坐标为：（表格七：各木条末端点位置坐标）i=1,5i=6,，10i=11,，15i=16,，20(-23.75,22.7792,-53)(-11.25,12.1233,-39.2665)(1.25,12.3243,-35.6697)(13.75,12.3478,-41.1793)(-21.25,17.1325,-49.6625)(-8.75,12.1107,-37.7896)(3.75,12.2713,-36.0149)(16.25,12.9866,-43.5585)(-18.75,14.3772,-46.4104)(-6.25,12.1855,-36.7151)(6.25,12.1855,-36.7151)(18.75,14.3772,-46.4104)(-16.25,12.9866,-43.5585)(-3.75,12.2713,-36.0149)(8.75,12.1107,-37.7896)(21.25,17.1325,-49.6625)(-13.75,12.3478,-41.1793)(-1.25,12.3243,-35.6697)(11.25,12.1233,-39.2665)(23.75,22.7792,-53)当桌子高为时，各条桌腿木条开槽长度如下：（表格八：各木条开槽长度）i=1,5i=6,，10i=11,，15i=16,，200 14.3930 17.8728 12.5925 4.3564 15.8031 17.5314 10.3684 7.6637 16.8445 16.8445 7.6637 10.3684 17.5314 15.8031 4.3564 12.5925 17.8728 14.3930 0.0000其中，由数据可知桌腿曲面中最中间的那条桌腿木条开槽长度最长，为，而最边沿的桌腿木条的开槽长度最短，为，也就符合了题中所说的钢筋固定在最边沿的桌腿木条上这一说法。（3）桌腿边缘线由木条的末端点位置坐标点得到。由和的两个柱面方程我们可以得到这条边缘曲线的方程为，其中为参数， 用MATLAB进行绘图，并对图形进行旋转，在不同坐标系下的不同角度单侧边缘线如下（见图九、十），代码如附录5。 （图九） （图十）为了观看更直观，我们把另一测桌腿的边缘线也画出，也对图形进行旋转，在不同坐标系下的不同角度双侧边缘线如下（见图十一、十二）。代码如附录1： （图十一） （图十二） 5.2问题二：设计折叠桌加工参数5.2.1建立模型（1）假设为第一根木条上端点到钢筋的距离，先计算出开槽长度，其中表示折叠后第根木条与钢筋交点到木条上端点的距离，表示折叠前第根木条与钢筋交点到木条上端点的距离。（2）假设为第一根木条在桌子高度为的情况下随角度的变化下的木条长度，则根据折叠前后的边角关系，则，所以目标方程就是（3）考虑到稳固性以及其他现实情况，列出约束条件。假设为折叠前钢筋点到下端点的距离，则开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离：；钢筋点位置不能超出木条：；考虑现实情况，我们给设定的可变范围：。（4）根据第（2）和第（3）步的目标函数和约束条件求解。5.2.2模型求解在问题一的基础上，我们需要求出本问的钢筋点的位置，木条的长度。首先，木条宽度影响到加工过程是否方便，也影响到桌面边沿的外观；其次，钢筋的位置直接影响到桌子的稳固性能和用材多少，若钢筋位置在木条的中上方，则在保证桌子等高的情况下，桌腿的倾斜度大，可以承受的重量也减小，且所用材料增加，而当钢筋位置在木条的偏下方时，则可能造成桌腿集中在桌面正下方位置，导致桌子不稳。最后，开槽长度也是决定桌子高度的一个因素。根据这些影响因素，我们进行优化设计。首先假设为第一根木条的上端点到钢筋点的距离，由于坐标点较多，为了方便计算，我们先依次计算出折叠前和折叠后木条上各点的坐标，方便求解开槽长度。（各参数具体表示标记如图十三）（图十三）（1）先求出折叠前各个数据，表示为：（）第根木条的长度第根木条上端点坐标第根木条上的钢筋点的坐标第根木条上末端点到钢筋的距离（2）折叠后各个数据表达为：（最外侧木条旋转角度为，）：第二十根木条的钢筋点坐标为根据第一根和第二十根的坐标，可以求得钢筋所在方程为：旋转后钢筋与第根木条的交点即（3）求第根木条的下端点坐标。第根木条下端坐标，设为，设上端点坐标为，旋转后钢筋与该木条交点为，则（是第根木条的长度）得，（取，于是）即，故第根木条的下端点坐标为（4）因此，可以求得第根木条上钢筋点到上端点的距离，记为，则，第根木条钢筋点到木条上端点的距离，记为，则（5）求开槽长度。 由上面的步骤（4），可以计算得开槽长度： （6）设计目标函数和约束方程。计算完各个坐标、直线方程以及长度之后，我们便可以设计优化的约束方程和要求得目标方程。要使稳固性越好，则需要越小越好；要使加工方便，也就是开槽长度尽量短，那么也越小越好；而用材最小也就是使木条长度最小。那我们就以木条最短为目标，求出在满足实际的约束下，最小的度数是多少。假设为第一根木条在桌子高度为的情况下随角度的变化下的木条长度，则根据折叠前后的边角关系，则，所以目标方程就是。接着，考虑到稳固性以及其他现实情况，列出约束条件。假设为折叠前钢筋点到下端点的距离，则开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离：；钢筋点位置不能超出木条下端点：；考虑现实情况，给设定可变范围：。根据目标函数和约束条件，我们就可以用MATLAB软件编写代码求解，求解过程中为了找出最合适的，我们对进行遍历，求出。5.2.3模型结果由于第根木条的开槽长度是最长的，只要这个最小的开槽长度小于折叠前钢筋点到下端点的距离，那么其他的也就满足。所以我们只用这条最长的开槽长度来计算约束条件。根据上面目标函数和约束函数，我们把代入计算并进行化简，得到： 用MATLAB计算（代码见附录6）可得，5.3问题三：设计创意平板折叠桌我们运用以上的模型，设计一个平板折叠桌，其桌面形状为椭圆。这样可以得到这个椭圆的方程。其中长轴，短轴为。（见图十四）（图十四）5.3.1模型建立（1）根据桌面方程和木条宽度等求出各个端点的坐标。计算开槽长度，其中表示折叠后第根木条与钢筋交点到木条上端点的距离，表示折叠前第根木条与钢筋交点到木条上端点的距离。（2）列出目标函数：约束条件：（3）求解加工参数。5.3.2模型求解我们设定长轴，短轴，高度为71.79时。（1）求出未旋转前的各个数据1、 最外侧木条的上端点坐标，最外侧木条的长度为：2、 第根木条的上端点坐标第根木条的长度为：3、设钢筋点到第一根木条的上端点距离为,则钢筋与第根木条的交点到该木条的上端点距离为（2）旋转后（最外侧木条与轴夹角为时）1、最外侧木条钢筋点坐标2、钢筋所在直线方程3、钢筋与第根木条的交点即可求得第根木条的钢筋点坐标4、根据问题一、二的模型，结合第根木条的钢筋点坐标，我们可以求得第根木条的下端点坐标5、第根木条的与钢筋的交点到该木条的上端点的距离：6、第根木条的开槽长度7、桌面高度为H，木板长度为（3）写出优化方程。包括目标函数：约束条件：，5.3.3模型结果通过以上求解过程，我们用MATLAB软件计算得：木板长度为110，随之计算出不同角度下的开槽长度（表格九），从数据可知，其中的最优为时，桌面一侧总开槽长度为191.0472。 80706050第1根木条槽长0000第2根木条槽长10.61039.42398.07856.5738第3根木条槽长19.452418.149916.600414.7286第4根木条槽长25.568224.371922.95521.2361第5根木条槽长29.377328.278626.996325.4657第6根木条槽长31.206130.15828.946927.5194第7根木条槽长31.206130.15828.946927.5194第8根木条槽长29.377328.278626.996325.4657第9根木条槽长25.568224.371922.95521.2361第10根木条槽长19.452418.149916.600414.7286第11根木条槽长10.61039.42398.07856.5738第12根木条槽长0000总的木条槽长232.4286220.7646207.1542191.0472（表格九）我们画出这个椭圆平面折叠桌，具体动态示意图（图十五）如下，相关代码见附录7：当时，从三个侧面来看，有：当时，有： 当时，有：当时，有：（图十五）六、模型评价与推广6.1模型优点（1）利用空间几何的知识结合实际，可以精准的计算出木条上各个点的坐标，而不是只得到某几个特殊点的坐标，保证了分析动态过程的准确度。（2）本模型在建立过程中充分考虑了实际情况。如开槽长度太长会导致木条向内倾斜角度过大，而钢筋却限制了倾斜角度不可过大，这样导致两者发生矛盾，诸如此类的实际问题，我们一一避免。（3）建立的模型所用数学知识相对简单，各个步骤求解目的明确，由较强的逻辑性，虽然公式繁琐，但清晰的思路还是方便读者理解，并是切实可行的。6.2模型缺点(1)在设计折叠桌时，为了方便计算，没有考虑桌腿木条在折叠过程中所需要的空隙，在本模型中每一根木条是紧密连接的，没有给桌腿木条之间留有合适的活动空间，和实际情况有所出入。(2)本模型单纯从空间几何的角度设计折叠桌，运算量大且较为复杂，没有对折叠桌使用时的受力情况进行分析，可能会影响折叠桌的实用性能。 6.3模型推广(1)本模型通过一定的问题假设，把具象物体抽象化为空间几何，把实际问题转化为数学问题来解决，不仅形象更加直观，而且易于通过计算得到更多该物体的相关数据，这种分析问题、解决问题的方式可以灵活应用于更为复杂的家具、建筑等物体的构造及设计。 (2)本文所提供的平板折叠桌模型具有较好的使用推广价值，可以很容易的开发为模拟折叠物体运动形态的软件，形象直观地描述物体由平板到折叠完成时的状态。七、参考文献1蔡国梁等直纹曲面的性质及其在工程中的应用数学的实践与认识2008.042翟雪直纹曲面与球面曲线东北大学20103范树功关于直纹曲面的一个补充定理潍坊教育学院学报1994.014颜卫亨计飞翔张茂功折叠结构体系及类型建筑科学与工程学报2006.04期 八、附录附录1： clear all;clcformat short %format rat%X轴x=-23.75:2.5:23.75;n=length(x);%Y轴的坐标y=sqrt(25*25-x.*x);%三维坐标点z=x,y,zeros(n,1)-3%每条木条长度k=60-abs(z(:,2)%每条木条的平面方程为：%x;%每条木棍的轴心坐标为x2=x,15.29275*ones(n,1),-28*ones(n,1)format short %由于过木条的平面平行于YOZ面，所以简化为二维平面讨论%直线的斜率为a,常数为bfor i=1:n a=(x2(i,3)+3)/ (x2(i,2)-y(i); b=(x2(i,3)-3)-a*(x2(i,2)+y(i)/2; Y(i)=(2*y(i)-2*a*b+2*a*z(i,3)-sqrt(-2*y(i)+2*a*b-2*a*z(i,3)2+4*(1+a2)*(k(i)2-(b-z(i,3)2-y(i)2)/(2*(1+a2); Z(i)=a*Y(i)+b; if Z(i)0 Y(i)=(2*y(i)-2*a*b+2*a*z(i,3)+sqrt(-2*y(i)+2*a*b-2*a*z(i,3)2+4*(1+a2)*(k(i)2-(b-z(i,3)2-y(i)2)/(2*(1+a2); end Z(i)=a*Y(i)+b; end%左半轴木条的旋转后下断点的坐标xyz=x,-Y,Zplot3(x,Y,Z)hold onplot3(x,-Y,Z)%每条木条的最后的轴心的距离位置为：for i=1:nchangdu(i)=k(i)-sqrt(x2(i,1)-z(i,1)2+(x2(i,2)-z(i,2)2+(x2(i,3)+3)2);%每条木条槽的长度;DD(i)=abs(changdu(i)-(60-y(1)/2);endDD=DDff=60-(60-y(1)/2;grid on附录2： 钢筋点坐标：1(-23.75,-20.8547,-25.6006)(-23.75,-26.2595,-21.4533)(-23.75,-30.4068,-16.0484)2(-21.25,-20.8547,-25.6006(-21.25,-26.2595,-21.4533)(-21.25,-30.4068,-16.0484)3(-18.75,-20.8547,-25.6006(-18.75,-26.2595,-21.4533)(-18.75,-30.4068,-16.0484)4(-16.25,-20.8547,-25.6006(-16.25,-26.2595,-21.4533)(-16.25,-30.4068,-16.0484)5(-13.75,-20.8547,-25.6006(-13.75,-26.2595,-21.4533)(-13.75,-30.4068,-16.0484)6(-11.25,-20.8547,-25.6006(-11.25,-26.2595,-21.4533)(-11.25,-30.4068,-16.0484)7(-8.75,-20.8547,-25.6006)(-8.75,-26.2595,-21.4533)(-8.75,-30.4068,-16.0484)8(-6.25,-20.8547,-25.6006)(-6.25,-26.2595,-21.4533)(-6.25,-30.4068,-16.0484)9(-3.75,-20.8547,-25.6006)(-3.75,-26.2595,-21.4533)(-3.75,-30.4068,-16.0484)10(-1.25,-20.8547,-25.6006)(-1.25,-26.2595,-21.4533)(-1.25,-30.4068,-16.0484)11(1.25,-20.8547,-25.6006)(1.25,-26.2595,-21.4533)(1.25,-30.4068,-16.0484)12(3.75,-20.8547,-25.6006)(3.75,-26.2595,-21.4533)(3.75,-30.4068,-16.0484)13(6.25,-20.8547,-25.6006)(6.25,-26.2595,-21.4533)(6.25,-30.4068,-16.0484)14(8.75,-20.8547,-25.6006)(8.75,-26.2595,-21.4533)(8.75,-30.4068,-16.0484)15(11.25,-20.8547,-25.6006)(11.25,-26.2595,-21.4533)(11.25,-30.4068,-16.0484)16(13.75,-20.8547,-25.6006)(13.75,-26.2595,-21.4533)(13.75,-30.4068,-16.0484)17(16.25,-20.8547,-25.6006)(16.25,-26.2595,-21.4533)(16.25,-30.4068,-16.0484)18(18.75,-20.8547,-25.6006)(18.75,-26.2595,-21.4533)(18.75,-30.4068,-16.0484)19(21.25,-20.8547,-25.6006)(21.25,-26.2595,-21.4533)(21.25,-30.4068,-16.0484)20(23.75,-20.8547,-25.6006)(23.75,-26.2595,-21.4533)(23.75,-30.4068,-16.0484)末端点坐标：1(-23.75,-33.1781,-35.3182)(-23.75,-38.0867,-27.86)(-23.75,-43.6739,-20.5787)2(-21.25,-25.8392,-28.9115)(-21.25,-29.2455,-22.8507)(-21.25,-33.7068,-17.0366)3(-18.75,-20.661,-25.4835)(-18.75,-23.3758,-20.2098)(-18.75,-27.2436,-15.1692)4(-16.25,-16.6674,-23.226)(-16.25,-18.9686,-18.4805)(-16.25,-22.4478,-13.9464)5(-13.75,-13.5214,-21.6293)(-13.75,-15.5499,-17.2608)(-13.75,-18.7549,-13.0839)6(-11.25,-11.053,-20.4704)(-11.25,-12.8938,-16.3768)(-11.25,-15.9002,-12.4588)7(-8.75,-9.1628,-19.6321)(-8.75,-10.8731,-15.7379)(-8.75,-13.7359,-12.0071)8(-6.25,-7.7889,-19.0473)(-6.25,-9.4108,-15.2924)(-6.25,-12.1734,-11.692)9(-3.75,-6.8921,-18.676)(-3.75,-8.4589,-15.0095)(-3.75,-11.158,-11.492)10(-1.25,-6.4491,-18.4956)(-1.25,-7.9895,-14.8721)(-1.25,-10.6577,-11.3948)11(1.25,-6.4491,-18.4956)(1.25,-7.9895,-14.8721)(1.25,-10.6577,-11.3948)12(3.75,-6.8921,-18.676)(3.75,-8.4589,-15.0095)(3.75,-11.158,-11.492)13(6.25,-7.7889,-19.0473)(6.25,-9.4108,-15.2924)(6.25,-12.1734,-11.692)14(8.75,-9.1628,-19.6321)(8.75,-10.8731,-15.7379)(8.75,-13.7359,-12.0071)15(11.25,-11.053,-20.4704)(11.25,-12.8938,-16.3768)(11.25,-15.9002,-12.4588)16(13