高考数学总复习 第八章 第八节空间向量的应用(一)课件 理.ppt

第八节空间向量的应用 一 第八章立体几何与空间向量 考纲要求 理解异面直线所成的角 线面角 二面角的概念 并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值 课前自修 知识梳理 一 异面直线所成的角1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b a b 所成的角的大小与点o的选择无关 把a b 所成的锐角 或直角 叫异面直线a b所成的角 或夹角 为了简便起见 点o通常取在异面直线的一条上 2 异面直线所成的角的取值范围 3 求异面直线所成的角的方法 几何法 向量法 二 直线和平面所成的角1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 特例 当一直线垂直于平面 规定它们所成的角是直角 当一直线平行于平面或在平面内 规定它们所成的角为0 角 2 直线和平面所成角的取值范围 三 二面角1 定义 平面内的一条直线把平面分为两个部分 其中的每一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 若棱为l 两个面分别为 的二面角记为 l 2 二面角的平面角 1 过二面角的棱上的一点o分别在两个半平面内作棱的两条垂线oa ob 则 aob叫做二面角 l 的平面角 2 一个平面垂直于二面角 l 的棱l 且与两半平面交线分别为oa ob o为垂足 则 aob就是 l 的平面角 说明 二面角的平面角范围是 0 二面角的平面角为直角时 则称为直二面角 组成直二面角的两个平面互相垂直 3 二面角大小的求法 几何法 向量法 4 求二面角的射影公式 cos 其中各个符号的含义是 s是二面角的一个面内图形f的面积 s 是图形f在二面角的另一个面内的射影 是二面角的平面角大小 基础自测 1 2012 滨州市模拟 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 aa1 底面abc ab bc aa1 abc 90 点e f分别是棱ab bb1的中点 则直线ef和bc1所成的角是 a 45 b 60 c 90 d 120 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 3 2011 怀化市模拟 如图 在直三棱柱中 acb 90 ac bc 1 侧棱aa1 m为a1b1的中点 则am与平面aa1c1c所成角的正切值为 4 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 则 1 二面角cdec1的余弦值为 2 直线ec1与fd1所成角的余弦值 考点探究 考点一 求异面直线所成的角 例1 2011 上海卷改编 已知abcd a1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱 高aa1 2 求 1 异面直线bd与ab1所成角的余弦值 2 四面体ab1d1c的体积 思路点拨 建立恰当的空间直角坐标系 用向量法求解 注意角的取值范围 点评 异面直线所成角的取值范围是 0 90 若异面直线a b的方向向量为m n 异面直线a b所成角为 则cos cos m n 解题过程是 建系 求点坐标 表示向量 计算 变式探究 1 2011 天津卷 如图所示 在三棱柱abc a1b1c1中 h是正方形aa1b1b的中心 aa1 2 c1h 平面aa1b1b 且c1h 1 求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值 2 求二面角a a1c1 b1的正弦值 3 设n为棱b1c1的中点 点m在平面aa1b1b内 且mn 平面a1b1c1 求线段bm的长 考点二 求线面角 斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角 它的三条边分别是平面的垂线段 斜线段及斜线段在平面内的射影 因此求直线和平面所成的角 几何法一般先定斜足 再作垂线找射影 通过解直角三角形求解 向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量 设 为直线l与平面 所成的角 为直线l的方向向量v与平面 的法向量n之间的夹角 则有 或 如图所示 特别地 0时 l 时 0 l 或l 例2 2011 全国卷 如图 四棱锥s abcd中 ab cd bc cd 侧面sab为等边三角形 ab bc 2 cd sd 1 1 证明 sd 平面sab 2 求ab与平面sbc所成的角的大小的正弦值 解析 法一 1 取ab中点e 连接de 则四边形bcde为矩形 de cb 2 连接se 则se ab se 又sd 1 故ed2 se2 sd2 所以 dse为直角 由ab de ab se de se e 得ab 平面sde 所以ab sd sd与两条相交直线ab se都垂直 sd 平面sab 法二 以c为坐标原点 射线cd为x轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系c xyz 设d 1 0 0 则a 2 2 0 b 0 2 0 又设s x y z 则x 0 y 0 z 0 变式探究 2 2012 大连市模拟 如图 已知正方形obcd所在平面与等腰直角三角形aod所在平面互相垂直 oa od 4 点e为cd的中点 线段ad上存在一点m 使bm与平面aeb所成角的正弦值为 则此时 解析 依题意知平面obcd 平面aod ob od ob 平面aod 得ob oa 又ao od ob od 如图 以o为原点 建立空间直角坐标系o xyz 考点三 求二面角的大小 1 几何法 将二面角问题转化求为其平面角的大小问题 要掌握以下三种基本方法 1 直接利用定义 如图 2 利用三垂线定理及其逆定理 如图 3 作棱的垂面 如图 另外 特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 2 向量法 1 从平面的法向量考虑 设n1 n2分别为平面 的法向量 二面角 l 的大小为 向量n1 n2的夹角为 则有 或 如图所示 2 如果ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小为 例3 2012 青岛市期末 已知四边形abcd满足ad bc ba ad dc bc a e是bc的中点 将 bae沿着ae翻折成 b1ae 使平面b1ae 平面aecd f为b1d的中点 1 求四棱锥b1 aecd的体积 2 证明 b1e 平面acf 3 求平面adb1与平面ecb1所成二面角的余弦值 2 证明 连接ed交ac于o 连接of 四边形aecd为菱形 oe od 又f为b1d的中点 fo b1e 又b1e 平面acf fo 平面acf b1e 平面acf 变式探究 3 2012 惠州市调研 如图 四边形abcd为矩形 且ad 2 ab 1 pa 平面abcd e为bc上的动点 1 当e为bc的中点时 求证 pe de 2 设pa 1 在线段bc上存在这样的点e 使得二面角p ed a的平面角大小为 试确定点e的位置 证明 法一 1 当e为bc的中点时 ec cd 1 从而 dce为等腰直角三角形 则 dec 45 同理可得 aeb 45 aed 90 于是de ae 又pa 平面abcd 且de 平面abcd pa de 又 ae pa a de 平面pae 又pe 平面pae de pe 2 如图 过a作aq de于q 连接ae pq 则pq de 法二 向量方法 以a为原点 ab ad ap所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 1 空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的 对空间各种角概念必须深刻理解 平行和垂直可以看成是空间角的特殊情况 2 几何法在书写上体现 作出来 证出来 指出来 算出来 答出来 五步 3 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 感悟高考 品味高考 2 2012 福建卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 高考预测 1 2012 厦门市模拟 如图所示 四棱锥p abcd的底面abcd是边长为1的菱形 bcd 60 e是cd的中点 pa 底面abcd pa 1 证明 平面pbe 平面pab 2 求二面角a be p的大小 解析 法一 1 连接bd 由abcd是菱形且 bcd 60 知 bcd是等边三角形 因为e是cd的中点 所以be cd 又ab cd 所以be ab 又因为pa 平面abcd be 平面abcd 所以pa be 而pa ab a 因此be 平面pab 又be 平面pbe 所以平面pbe 平面pab 2 由 1 知 be 平面pab pb 平面pab 所以pb be 又ab be 所以