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1 2 微积分的历史地位若将整个数学比作一棵大树 那么初等数学是树根 名目繁多的数学分支是树枝 而微积分就是树干的主要部分 微积分堪称是人类最伟大的成就之一 微积分 Calculus 是高等数学中研究函数的微分 Differentiation 积分 Integration 以及有关概念和应用的数学分支 它是数学的一个基础学科 内容主要包括极限 微分学 积分学及其应用 微分学包括求导数的运算 是一套关于变化率的理论 它使得函数 速度 加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论 积分学 包括求积分的运算 为定义和计算面积 体积等提供一套通用的方法 3 4 5 十七世纪微积分的酝酿促使微积分产生的因素 第一类是研究运动的时候直接出现的 即求即时速度的问题 第二类是求曲线的切线的问题 第三类是求函数的最大值最小值问题 第四类是求曲线长 曲线围成的面积 曲面围成的体积 物体的重心 一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力等 6 意大利数学家卡瓦列里在其著作 用新方法促进的连续不可分量的几何学 1635 中 发展了系统的不可分量方法 卡瓦列里认为 线是由无限多个点组成 面是由无限多条平行线段组成 立体则是由无限多个平行平面组成 他分别把这些元素叫做线 面和体的 不可分量 卡瓦列里建立了一条关于这些不可分量普遍原理 后以 卡瓦列里原理 著称 7 8 9 10 11 十八世纪微积分的发展从十七世纪到十八世纪的过渡时期 法国数学家罗尔在其论文 任意次方程一个解法的证明 中给出了微分学的一个重要定理 也就是我们下周所说的罗尔微分中值定理 伯努利兄弟雅各布和约翰 他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容 其中 约翰给出了求未定式极限的一个定理 这个定理后由约翰的学生罗比达编入其微积分著作 无穷小分析 现在通称为罗比达法则 12 13 14 15 常微分方程与动力系统 从17世纪末开始 摆的运动 弹性理论以及天体力学等实际问题引出了常微分方程 18世纪 有了明确的方向及目标 19世纪后半叶时 常微分方程在两大方向上开拓了新局面 涉及到很多新的分支 混沌 分形 交叉等 偏微分方程 达朗贝尔发表的 张紧的弦振动时形成的曲线的研究 被看作是偏微分方程论的开端 变分法 起源于 最速降线 和其他一些类似的问题 最早由约翰 伯努利提出向其他数学家挑战 欧拉对此给出了自己的解答 即后来的 欧拉方程 至今仍是变分法的基本方程 16 17 就数学本身发展的需求和解决问题的需要而言 仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的 有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始 进而达到抽象思维 也就是从感性认识到理性认识的过程 人类对客观世界的规律性的认识具有相对性 受到时
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