基本不等式 新课标 0

基本不等式 课题 3 4基本不等式 1 课题导入1 重要不等式 如果 2 基本不等式 如果a b是正数 那么 3 我们称的算术平均数 称的几何平均数 成立的条件是不同的 前者要求a b都是实数 而后者要求a b都是正数 2 讲授新课 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 2 解法一 设矩形菜园的宽为xm 则长为 36 2x m 其中0 x 当且仅当2x 36 2x 即x 9时菜园面积最大 其面积为 S x 36 2x 2x 36 2x 即菜园长18m 宽为9m时菜园面积最大为162m2 解法二 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则x 2y 36 矩形菜园的面积为xym 当且仅当x 2y 即x 18 y 9时等号成立 因此 这个矩形的长为18m 宽为9m时 菜园的面积最大 最大面积是162m 小结 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b R 且a b M M为定值 则ab 等号当且仅当a b时成立 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b R 且ab P P为定值 则 a b 2 等号当且仅当a b时成立 例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式 然后求函数的最值 其中用到了均值不等式定理 解 设水池底面一边的长度为xm 则水池的宽为 水池的总造价为y元 根据题意 得 因此 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 评述 此题既是不等式性质在实际中的应用 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立 又是不等式性质在求最值中的应用 应注意不等式性质的适用条件 小结 用均值不等式解决此类问题时 应按如下步骤进行 1 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 求出函数的最大值或最小值 4 正确写出答案 3 随堂练习1 已知x 0 当x取什么值时 x2 的值最小 最小值是多少 2 课本第113页的练习1 2 3 4 4 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题 在用均值不等式求函数的最值 是值得重视的一种方法 但在具体求解时 应注意考查下列三个条件 1 函数的解析式中 各项均为正数 2 函数的解析式中 含变数的各项的和或积必须有一个为定值 3 函数的解析式中 含变数