8.7求圆锥曲线方程的常用方法

求圆锥曲线方程的常用方法 轨迹法定义法待定系数法 建系设点写集合列方程化简证明 静 例1动点P x y 到定点A 3 0 的距离比它到定直线x 5的距离少2 求 动点P的轨迹方程 O 3 5 A x y m 解法一 轨迹法 思考 如何化去绝对值号 P点在直线左侧时 PH 5 P 例1动点P x y 到定点A 3 0 的距离比它到定直线x 5的距离少2 求 动点P的轨迹方程 3 5 A x y m 解法一 轨迹法 解法二 定义法 如图 则点P到定点A 3 0 与定直线n x 3等距离 P x y 故 点P的轨迹是 A n 轨迹法定义法待定系数法 静音 练习1 练习2 由题设条件 根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后 写出曲线的方程 例2等腰直角三角形ABC中 斜边BC长为 一个椭圆以C为其中一个焦点 另一个焦点在线段AB上 且椭圆经过点A B 求 该椭圆方程 O 解 则 AD AC 2a BD BC 2a 所以 AD BD AC BC 4a 即 例2等腰直角三角形ABC中 斜边BC长为 一个椭圆以C为其中一个焦点 另一个焦点在线段AB上 且椭圆经过点A B 求 该椭圆方程 O 解 得 D AD AC 2a AC AD DC 2 AD 2 AC 2 2 16 24 6 2 2 6 故所求椭圆方程为 注 重视定义 轨迹法定义法待定系数法 静音 练习1 练习2 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 1 分析 如图 抛物线开口向右 根据点M 2 4 可求焦参数p 进而可求焦点 设抛物线 y2 2px p 0 将点M代入解得p 4故抛物线方程为y2 8x 焦点为F 2 0 F 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线方程 y2 8x 焦点F 2 0 设椭圆 双曲线方程分别为 则a2 b2 4 m2 n2 4 又 解得 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线 y2 8x 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线 y2 8x 2 分析 如图 椭圆 双曲线的右顶点距离为 a m P为抛物线上的一点 三角形的高为 yp xp yp 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线 y2 8x 易知 a m 4 故可得 yp 3 将它代入抛物线方程得xp 故所求P点坐标为 3 和 3 注解 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线 y2 8x 易知 a m 4 故可得 yp 3 将它代入抛物线方程得xp 故所求P点坐标为 3 和 3 注解 例3椭圆 双曲线和抛物线都经过点M 2 4 它们的对称轴都是坐标轴 抛物线的顶点在原点 三种曲线在X轴上有一个公共焦点 1 求这三种曲线的方程 2 在抛物线上求一点P 使它与椭圆 双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6 F 抛物线 y2 8x 点评 待定系数法是求曲线方程的最常用方法 轨迹法定义法待定系数法 练习1 练习2 小结 作业 已知定点M 1 0 及定直线L x 3 求到M和L的距离之和为4的动点P的轨迹方程 动圆M和y轴相切 又和定圆相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 3 已知椭圆的中心在原点 对称轴为坐标轴 一条准线为x 1 直线L过左焦点F 倾角为45 交椭圆于A B两点 若M为AB的中点且AB与OM的夹角为arctan2时 求椭圆的方程 例1动点P x y 到定点A 3 0 的距离比它到定直线x 5的距离少2 求 动点P的轨迹方程 3 5 A x y m 解法一 轨迹法 解法二 定义法 如图 则点P到定点A 3 0 与定直线n x