甘肃省张掖市2012届高三4月高考诊断测试数学理试题.doc

中国校长网甘肃省张掖市2012届高三下学期4月高考诊断测试数学（理科）试题本卷分第卷（选择题）与第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1复数的共轭复数是（ ）A B C D2已知函数的图象与函数（）的图象关于直线对称，则（ ）A（） B（）C（） D（）3已知是等差数列的前项和，且，则的值为（ ）A B C D4已知函数（且）为奇函数，其图象与轴的所有交点中最近的两交点间的距离为，则的一个单调递增区间为 （ ）A B C D5在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是 （ ）A B C D 6函数的图象在点A处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为 （ ）A B C D7已知是以为斜边的等腰直角三角形，若，且，则的取值范围是（ ）A B C D8已知长方体中，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D9在小语种提前招生考试中，某学校获得个推荐名额，其中俄语名，日语名，西班牙语名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下男女共个推荐对象，则不同的推荐方法共有 （ ）A种 B 种 C种 D种10设实数满足，则的取值范围是（ ）A B C D11已知三棱锥中，点为侧棱上的一点，且顶点在底面上的射影为底面的垂心.如果球是三棱锥的外接球，则，两点的球面距离是（ ）A B C D12定义在上的奇函数满足,，且当时，有，则的值为（ ）A B C D第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13二项式的展开式中的含的项的系数是 . 14若，且是第三象限的角，则的值为 .15已知抛物线（）的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且,的面积为，则该抛物线的方程为 .16已知双曲线（）的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，与圆切于点，且为的中点，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本题满分10分，每小题5分）在锐角中，角、所对的边分别为、.且.（1）求角的大小及角的取值范围；（2）若，求的取值范围.18（本题满分12分，每小题6分）某大学对该校参加某项活动的志愿者实施“社会教育实施”学分考核，该大学考核只有合格和优秀两个等次.若某志愿者考核为合格，授予个学分；考核为优秀，授予个学分.假设该校志愿者甲、乙考核为优秀的概率分别为、，乙考核合格且丙考核优秀的概率为.甲、乙、丙三人考核所得等次相互独立.（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望.19（本题满分12分，每小题6分）如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点，是的中点，.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.20（本题满分12分，每小题6分）已知是公比大于的等比数列，它的前项和为， 若，成等差数列，且，（）.（1）求；（2）证明：（其中为自然对数的底数）.21（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，它的一条准线为，过点的直线与椭圆交于、两点.当与轴垂直时，.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的内切圆面积最大时正实数的值.22（本题满分12分，第（1）、（2）小题各3分，第（3）小题6分）已知函数，（其中为自然对数的底数，常数）.（1）若对任意，恒成立，求正实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当取最大值时，试讨论函数在区间上的单调性；（3）求证：对任意的，不等式成立.张掖市2012年4月高考诊断试卷数学（理科）参考答案一、选择题： C ACCA DABCB BB 二、填空题：13 14 15 16三、解答题：17（1）由得即 得，故.-（3分）又因是锐角三角形，故即得故.-（2分）（2）由，得 依得于是依得-（3分）知当时，即时，取得最大值.当时，即时，取得最小值.故所求的取值范围是.-（2分）18（1）设丙考核优秀的概率为，依甲、乙考核为优秀的概率分别为、，乙考核合格且丙考核优秀的概率为.可得，即.-（2分）于是，甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率为.-（4分）（2）依题意 -（4分）于是的分布列为1.522.53故+-（2分）19（1）证法1取中点-（1分）因且，且，故且，（3分）因而且因此平面。-（2分）证法2以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则,，.设，平面的法向量为，依，且，.可得取，得-（4分）当是棱的中点时，.则及得故平面.-（2分）（2）因平面的法向量为，-（2分）又二面角的大小是，故即解得.故在棱上存在点，使得二面角的大小是.此时.-（4分）20 （1）依，成等差数列，得 -（2分）从而 得故.-（4分）（2）当时，由得.要证明只需证.-（1分）令 （）则依知在区间单调递减，.故当时，即.从而当时，-（2分）于是令得故 故.-（3分）21 （1）当与轴垂直时，得 得 即-（2分）又 解得，故所求椭圆的方程为.-（2分）（2）由点，可设， 当与轴垂直时，依（其中为的内切圆半径）即得此时可知-（2分）当与轴不垂直时，不妨设直线的方程为代入得则-（2分）从而可得又点到直线的距离.依（其中为的内切圆半径）即-（2分）得知在区间上该函数单调递增，故当时，即直线的斜率不存在时，最大为，亦即的内切圆面积最大. 此时可知综上所求为.-（2分）22（1）由对任意恒成立，即对任意恒成立令 则 得故在区间上单调递增，在区间上单调递减， -（2分）得于是 得.故所求正实数的取值范围是.-（1分）