河南农业大学2011-2012学年第一学期期末试题(附答案)_.doc

院、系 班级 姓名 学号 密 封 线 河南农业大学2011-2012学年第一学期 工科大学数学A期末考试试卷（A）题号一二三四总分分数得分评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分请在正确命题前打“”，错误命题前打“”）（ ）1、有界数列必收敛 （ ）2、若在点连续，则在该点必有极限 （ ）3、闭区间上无最小值的函数在该闭区间上必不连续 （ ）4、函数在点处不可微 （ ）5、 （ ）6、若曲线上每一点都有切线，则必处处可导 （ ）7、极值点为单调性的分界点,拐点为凸凹性的分界点 （ ）8、若是的原函数，则 （ ）9、在上连续是 存在的充分条件 （ ）10、空间中两个向量垂直的充要条件为这两个向量内积为零 得分评卷人二、填空题（每空2分，共计20分）1、 2、设在处可导，则_3、曲线在点的切线方程为 4、设，则= 5、是的一个原函数，则_6、的单增区间是_7、=_ 8、曲线的全长为_ .9、_ 10、过三个点(1,0,0)、(0,2,0)、(0，0，3)的平面方程为_ .得分评卷人三、计算题（每题7分，共计49分）1、求.2、设,求其导数3、设函数由参数方程确定，求院、系 班级 姓名 学号 密 封 线 4、求. 5、求积分 . 6、求过点且平行于向量和的平面方程.7、求由曲线,直线,与轴所围成平面图形的面积及其绕轴旋转一周所得旋转体的体积.得分评卷人四、应用题（本题11分） 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为时，燃料费为每小时元，而其它与速度无关的费用为每小时元. 问轮船的速度为多少时, 每航行所消耗的费用最小？院、系 班级 姓名 学号 课头号 密 封 线 河南农业大学2011-2012学年第一学期 工科大学数学A期末考试试卷（B）题号一二三四总分分数得分评卷人一、判断题（每小题2分，共计20分）1、若数列有界，则它一定是收敛的 （ ） 2、函数在点无定义，则该函数当时的极限不存在 （ ）3、恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. ( )4、函数在处连续, 其余各点处处间断 ( )5、罗尔定理中可以是不唯一的 （ ）6、在点不可导，则在点不连续 ( )7、极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点 （ ）8、连续函数一定有原函数 （ ）9、如果，则 （ ）10、在空间中,方程为单位圆 （ ）得分评卷人二、填空题（每空2分，共计20分）1、若在处导数为，则= 2、3、的带有Lagrange型余项的阶麦考林展开式是 4、设，则=_5、是的一个原函数，则_6、 ，其中为常数 7、在0,4上的最大值为 8、心形线的全长为_ .9、_ 10、过三个点(1,0,0)、(0,2,0)、(0，0，3)的平面方程为_ .得分评卷人三、计算题（每题7分，共计49分）1、求(-) 2、设函数， 问满足什么条件函数在处可导3、设函数由参数方程所确定，求院、系 班级 姓名 学号 课头号 密 封 线 4、求5、计算，其中是常数且.6、求积分 7、求由曲线,直线,与轴所围成平面图形的面积及其分别绕、轴旋转一周所得旋转体的体积.得分评卷人 四、证明题（11分）设是连续函数，（1）利用定义证明函数可导，且；（2）当时，若单减，则单减备选题线 处法线与曲线所围成图形的面积解： 先找出法线方程 法线方程 y1（1）（x） xy曲线和法线xy的另一交点为 所求面积 S设抛物线通过点，且当. 试确定a, b, c的值，使得抛物线与直线所围成图形的面积为，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小.解：抛物线通过原点 2分该抛物线与直线所围成图形的面积 4分，即 6分该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积 8分 10分， 12分，故 14分河南农业大学2011-2012学年第一学期工科大学数学A期末考试试卷答案（A）一、题号12345678910对错二、1、 2、 3、 4、2011！5、 6、7、 8、 9、 10、三、1、解： （“”型）2分5分.7分2、解：2分 5分 7分3、解：， 2分 7分4、解：3分 7分5、解：方法一：由于，故是反常积分. 令，有， 1分 3分 5分7分方法二：1分3分 令，有， 5分故，原式7分6、解： 2分令得，并且使得没有意义 4分因为， 6分所以最大值为；最小值为 -7分7、解：（1）画出图形，显示出交点坐标， - 1分所围图形的面积为： -2分（2）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 -4分（3）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 -7分四、解：（1） -1分 -2分由于是连续函数，所以由连续函数的积分中值定理有，其中介于和之间。 -4分所以 -5分故，即。 -6分（2） -7分所以 -8分= -9分 -10分当时，若单减, 则,故其单减。 -11分河南农业大学2011-2012学年第一学期 工科大学数学A期末考试试卷答案（B）一、题号12345678910对错二、1、 2、 3、 4、 5、 6、0 7、 8、8a 9、 10、三、1、解：= 2分= 7分 2、解：要使函数在0点可导，须使 在0点连续 ， 即 1分又因为函数当时极限不存在但在定义域上为有界函数，故须使为时的无穷小，即，所以须使 3分要使函数在0点可导，须使存在，即须使， 所以须使，即综上，时，函数在处可导 7分3、解：， 2分 7分4、解： 2分 3分 5分 7分5、解： 2分 3分 4分 7分6、解：方法一：由于，故是反常积分. 令，有， 1分 3分 5分7分方法二：1分3分 令，有，5分 故，原式7分7、解：（1）画出图形，显示出交点坐