高中数学几何变换与矩阵2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法学案苏教版.docx

2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则.2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.基础初探1.行矩阵与列矩阵的乘法规则.2.二阶矩阵与列向量的乘法规则.3.平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为：T：(x，y)(x，y)或T：.4.由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T：的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，dR).由矩阵M确定的变换T，通常记作TM.根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当表示某个平面图形F上的任意一点时，这些点就组成了图形F，它在TM的作用下，将得到一个新的图形F原象集F的象集F.思考探究1.二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是把向量变成了另一个向量2.二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？【提示】由本节的知识点知，一个二阶矩阵可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量表示平面上的点P(x，y)，变成另一个列向量表示的新的点P(axby，cxdy).反过来，现有平面上的一个变换T：，如果，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标表示出来，这时变换T应为矩阵.3.矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别.函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：二阶矩阵与平面列向量的乘法运算计算(1)；(2)；(3)；(4).【精彩点拨】根据矩阵与向量的乘法规则运算.【自主解答】(1).(2).(3).(4).二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则进行.本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】(1)在矩阵作用下，列向量变成，此时点P(5，7)变成了关于x轴对称的点P(5，7).(2)在矩阵作用下，列向量保持不变.(3)在矩阵作用下，列向量变成了向量.矩阵的变换(1)已知变换，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式. 【导学号：30650005】【精彩点拨】(1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x3y及y用x，y表示出来的系数a，b，c，d.【自主解答】(1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得.(2)由得： .1.将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可.2.将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵，使.已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】由得：.在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用已知变换T：平面上的点P(2，1)，Q(1，2)分别变换成P1(5，6)，Q1(2，0)，求变换矩阵A.【精彩点拨】由题意可知，变换矩阵A为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素.【自主解答】设所求的变换矩阵A，依题意，可得，所以解得故所求的变换矩阵A.1.设出所求的变换矩阵，将坐标变换写成矩阵的乘法的形式.2.根据矩阵的乘法列出方程组求出各元素，即得所求矩阵.如果矩阵把点A变成点A(3，2)，求点A的坐标.【解】设变换T：，即解得所以点A的坐标为(1，1).真题链接赏析(教材第11页习题第7题)设点P(a，b)(a，bR)在矩阵对应的变换作用下得到点P，求点P的坐标.(福建高考)已知直线：l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标.【命题意图】考查矩阵与矩阵变换.矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想.【解】(1)设直线l：axy1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M(x，y).由，得又点M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依题意，得解得(2)由A，得解得y00.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x01.故点P的坐标为(1，0).1.设A，则A_.【解析】A.【答案】2.已知，则将它写成坐标变换的形式为：_. 【导学号：30650006】【解析】.【答案】3.线性变换写成矩阵与列向量的乘积的形式为_.【解析】【答案】4.若矩阵把点A变成点A(3，1)，则点A的坐标为_.【解析】设变换T：，即解得所以点A的坐标为(1，3).【答案】(1，3)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(二)学业达标1.给定列向量a，利用矩阵与列向量的乘法，试说明下列矩阵把列向量a分别变成了什么列向量：，.【解】，.2.求点A(4，3)在矩阵对应的变换作用下得到的点.【解】因为，点A在矩阵对应的变换作用下为点.3.(1)已知变换，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换，试将它写成矩阵的乘法形式.【解】(1).(2).4.给定列向量，矩阵A，B，C，D，计算A，B，C，D，并说明它们所表示的几何意义. 【导学号：30650007】【解】根据矩阵与列向量的乘法，得A，B，C，D.在矩阵A作用下，列向量保持不变；在矩阵B作用下，列向量变成零向量；在矩阵C作用下，列向量的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P(3，2)变成了关于y轴对称的点P(3，2)，如图(1)；在矩阵D作用下，向量变成了列向量，此时点P(3，2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P(2，3)，如图(2).5.已知矩阵M，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M对应的变换下得到点P(4，0)，求实数a的值.【解】由，得22a4，即a3.6.设矩阵A对应的变换把点A(1，2)变成点A(2，3)，把点B(1，3)变成点B(2，1)，那么把点C(2，3)变成了什么？【解】设A，点A(1，2)，A(2，3)，B(1，3)，B(2，1)对应的列向量分别为1，2，1，2.根据题意得，A.设点C(2，3)对应的列向量为1，在矩阵A对应的变换下为C(x，y)，且C对应的列向量为2，.7.(江苏高考)已知矩阵A，B，向量，x，y为实数.若AB，求xy的值.【解】由已知，得Aa，Ba.因为AaBa，所以.故解得所以xy.能力提升8.直线2xy10在矩阵作用下变换得到的直线方程. 【导学号：30650008】【解】法一任意选取直线2xy10上的一点P(x0，y0)，它在