【全程复习方略】（陕西专用）2013版高中数学 4.3平面向量的数量积配套课件 北师大版

第三节平面向量的数量积 三年27考高考指数 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 1 平面向量数量积的运算是高考考查的重点 主要考查应用数量积求平面向量的夹角 模及判断向量的垂直 是重点也是难点 2 题型以选择题和填空题为主 与三角函数 解析几何等知识点交汇则以解答题为主 1 两个向量的夹角 1 夹角的定义 定义 范围 已知两个 向量作 AOB 叫作向量的夹角 如图 向量夹角 的范围是 当 时 两向量共线 当 时 两向量垂直 记作 规定零向量可与任一向量垂直 0 或180 90 0 180 非零 2 射影的定义设 是a与b的夹角 则 叫作b在a方向上的射影 叫作a在b方向上的射影 射影是一个实数 不是线段的长度 也不是向量 当 时 它是正值 当 时 它是负值 当 时 它是0 b cos a cos 0 90 90 180 90 即时应用 1 思考 在 ABC中 向量与的夹角为 ABC 是否正确 提示 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量与的夹角为 ABC 2 若 a 5 向量a与b的夹角 60 则向量a在b方向上的射影为 解析 a在b方向上的射影为 a cos 5cos60 答案 2 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的定义已知两个向量a和b 它们的夹角为 把 叫作a与b的数量积 或内积 记作 2 数量积的几何意义a与b的数量积等于 的乘积 或 的乘积 a b cos a b a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos 即时应用 1 已知正三角形ABC的边长为1 则 2 已知 a 1 b 2 a b 1 则向量a b的夹角 解析 又0 180 60 答案 3 平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 x1x2 y1y2 0 即时应用 1 思考 若a b 0 是否说明向量a和b的夹角一定为钝角 提示 不一定 也可能是平角 2 已知a 1 1 b 2 4 判断下列命题的真假 请在括号内填 真 或 假 a b 若 为向量a b的夹角 则cos 若a a b 则 1 a b 4a b 18 解析 故 真 真 a b 1 1 2 4 2 1 4 1 a a b 2 1 4 1 2 2 0 1 真 a b 3 3 4a b 4 1 1 2 4 6 0 a b 4a b 3 6 3 0 18 真 答案 真 真 真 真 4 平面向量数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 即时应用 1 思考 a b c与a b c 相等吗 提示 不一定相等 a b b c均为实数 a b c c a b c a 所以 a b c与a b c 不一定相等 2 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 解析 设a b的夹角为 2a b b 0 2a b b2 0 2 a b cos b 2 0 又 a b 0 0 180 cos 120 答案 120 平面向量数量积的运算 方法点睛 1 平面向量的数量积问题类型及求法 1 已知向量a b的模及夹角 利用公式a b a b cos 求解 2 已知向量a b的坐标 利用数量积的坐标形式求解 2 利用数量积求解长度问题的方法 例1 1 2011 大纲版全国卷 设向量a b满足 a b 1 a b 则 a 2b 2 2011 湖南高考 在边长为1的正三角形ABC中 设则 3 2011 辽宁高考改编 已知向量a 2 1 b 1 k a 2a b 则 a b a b 解题指南 1 借助 a 2b 2 a 2b a 2b 求解 2 用基向量表示向量 3 借助a 2a b 0求k 进而求 a b a b 规范解答 1 选B a 2b 2 a2 4a b 4b2 12 4 4 12 3 a 2b 2 由题意画出图形如图所示 取基底结合图形可得答案 3 2a b 2 2 1 1 k 5 2 k 由a 2a b 得a 2a b 10 2 k 0 k 12 b 1 12 a b a b a2 b2 22 12 1 2 122 140 答案 140 互动探究 若本例 2 题条件改为 若D E分别为边BC AC的中点 又该如何求 解析 D E分别为BC AC的中点 反思 感悟 平面向量的数量积的运算有两种形式 一是依据长度和夹角 二是利用坐标来计算 对于第一种形式 要注意确定这两个向量的夹角 如夹角不易求或者不可求 可通过选择易求夹角和模的基底进行转化 变式备选 在 ABCD中 AC为一条对角线 若则 解析 答案 8 平面向量的垂直问题 方法点睛 两向量垂直的判断方法及应用 1 若a b为非零向量 则a b a b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 提醒 向量垂直问题体现了 形 与 数 的相互转化 可用来解决几何中的线线垂直问题 例2 已知若 AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形 求向量b 解题指南 设出向量b x y 利用列出方程组 求出b 规范解答 方法一 设向量b x y 则 a b由题意可知 从而有 方法二 设向量b x y 依题意 则 a b a b 0 a b a b 所以 a b 1 a b 0 所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量 反思 感悟 坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式 从而应用方程思想解决问题 化形为数 从而使向量问题数字化 变式训练 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段AB AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数t满足求t的值 解析 1 由题设知 3 5 1 1 则 2 6 4 4 所以故所求的两条对角线的长分别为 2 由题设知 2 1 t 3 2t 5 t 由 t 得 t 0 即 3 2t 5 t 2 1 0 从而5t 11 所以 利用数量积解决夹角问题 方法点睛 利用数量积求向量夹角的方法 1 利用向量数量积的定义其中两向量夹角的范围为0 180 求解时应求出三个量 a b a b 或者找出这三个量之间的关系 2 利用坐标公式 若a x1 y1 b x2 y2 则 提醒 a b 0 0 0 0 是 为锐角 钝角 的必要而不充分条件 例3 1 2011 湖北高考 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 2 2011 浙江高考 若平面向量满足 1 1 且以向量为邻边的平行四边形的面积为则与的夹角 的取值范围是 解题指南 1 先求出2a b a b的坐标 再用夹角的坐标公式求夹角 2 利用平行四边形的面积可得出sin 的范围 进而求出夹角 的范围 规范解答 1 选C 2a b 2 1 2 1 1 3 3 a b 1 2 1 1 0 3 2a b a b 3 0 3 3 9 2a b a b 3 设夹角为 2 由S sin sin 可得 答案 互动探究 若将本例 1 题干中向量a改为 1 k k 1 且2a b与a b的夹角为锐角 则如何求实数k的取值范围 解析 2a b 3 2k 1 a b 0 k 1 k 1 2a b a b均不是零向量 且夹角为锐角 2a b a b 0 即 2k 1 k 1 0 k 1或当2a b与a b共线时 3 k 1 2k 1 0 0 k 1 又k 1 2a b与a b不共线 故k的取值范围为 k 1或 反思 感悟 求两个向量的夹角时 需求出两向量的数量积 两向量的模之积或者它们之间的倍数关系 再求cos 进而求 要注意 0 变式备选 已知A 2 0 B 0 2 C cos sin O为坐标原点 1 求sin2 的值 2 若且 0 求与的夹角 解析 1 cos sin 2 0 cos 2 sin cos sin 0 2 cos sin 2 cos cos 2 sin sin 2 cos2 2cos sin2 2sin 1 2 sin cos 2 2 0 cos sin 2 cos sin 即4 4cos cos2 sin2 7 4cos 2即 0 又设 为与的夹角 满分指导 平面向量主观题的规范解答 典例 12分 2011 陕西高考 叙述并证明余弦定理 解题指南 利用向量数量积证明 由把展开利用代入 即可证明 规范解答 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 ABC中 a b c分别为角A B C的对边 有a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 4分证明 如图 8分 b2 2bccosA c2 即a2 b2 c2 2bccosA 10分同理可证b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2011 重庆高考 已知向量a 1 k b 2 2 且a b与a共线 那么a b的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选D a b 3 2 k 因为a b与a共线 所以2 k 3k 0 解得k 1 所以a b 1 2 1 2 4 2 2011 辽宁高考 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 解析 选B 由 a c b c 0 得a b a c b c c2 0 又a b 0且a b c均为单位向量 得 a c b c 1 a b c 2 a b c 2