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第三章 曲线曲面建模技术 第三章 曲线曲面建模技术 目目 录录 第三章第三章 曲线曲面基本理论曲线曲面基本理论 2 1 概述 2 1 1 曲线曲面表示 2 1 2 曲线曲面基本性质 4 1 3 曲线曲面生成 6 2 BEZIER曲线曲面 6 2 1 Bezier 曲线 6 2 2 Bezier 曲面 14 3 B 样条曲线与曲面 19 3 1 B 样条曲线 19 3 2 均匀双三次 B 样条曲面 23 3 3 一般 B 样条曲线曲面 27 4 NURBS 曲线与曲面 32 4 1 NURBS 曲线 32 4 2 NURBS 曲面 34 5 曲线曲面造型方法 34 5 1 CAD 系统中常见曲线生成手段 34 5 2 常见曲面生成手段 36 5 3 常见曲线曲面编辑手段 39 5 4 其它造型手段 39 思考与练习 40 第三章 曲线曲面建模技术 第三章第三章 曲线曲面基本理论曲线曲面基本理论 1 概述 概述 曲线曲面造型 Surface Modeling 是计算机辅助几何设计 Computer Aided Geometric Design CAGD 和计算机图形学的一项重要内容 主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示 设计 显示和 分析物体模型 它在航空航天 船舶 飞机 汽车等行业得到广泛应用 如图 3 1 所示 由 Coons Bezier 等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础 经过三十多年的发展 曲线曲面造型现在 已形成了以有理 B 样条曲线曲面 Rational B spline Surface 参数化特征设计和隐式代数曲线曲面 Implicit Algebraic Surface 表示为主体的两类方法 且以插值 Interpolation 逼近 Approximation 手段为几何理论体系 a 飞机 b 船舶 c 汽车 图 3 1 曲线曲面造型应用 1 11 1 曲线曲面表示曲线曲面表示 曲线曲面可以用三种形式进行表示 即显式 隐式和参数表示 三种形式表示如下 显式表示 显式表示 形如的表达式 对于一个平面曲线而言 显式表达式可写为 yxfz xfy 在平面曲线方程中 一个值与一个值对应 所以显式方程不能表示封闭或多值曲线 例如 不能xy 用显式方程表示一个圆 隐式表示隐式表示 形如的表达式 如一个平面曲线方程 隐式表达式可写为 0 zyxf0 yxf 隐式表示的优点是易于判断函数是否大于 小于或等于零 也就易于判断点是落在所表示曲 yxf 线上或在曲线的哪一侧 参数表示 参数表示 形如 的表达式 其中 t 为参数 即曲线上任一点的坐 tfx tfy tfz 标均表示成给定参数的函数 如平面曲线上任一点可表示为 如图 3 2 a 所示 P tytxtP 空间曲线上任一三维点可表示为 如图 3 2 b 所示 P tztytxtP 第三章 曲线曲面建模技术 a 平面曲线 b 空间曲线 图 3 2 曲线参数表示 最简单的参数曲线是直线段 端点为 的直线段参数方程可表示为 1 P 2 P 1 1 1 0 121 ttPPPtP 圆在计算机图形学中应用十分广泛 其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为 1 2 10 1 2 xxy 其参数形式可表示为 1 3 1 0 1 2 1 1 22 2 t t t t t tP 计算机图形学中通常用参数形式描述曲线曲面 因为参数表示的曲线曲面具有几何不变性等 优点 其优势主要表现在 1 可以满足几何不变性的要求 坐标变换后仍保持几何形状不变 2 有更大的自由度来控制曲线曲面的形状 如一条二维三次曲线的显式表示为 1 4 dcxbxaxy 23 由上式可知只有四个系数控制曲线的形状 而二维三次曲线的参数表达式为 1 5 1 0 43 2 2 3 1 43 2 2 3 1 t btbtbtb atatata tP 与二维三次曲线的显式表达式比较 参数表达式由 8 个系数来控制此曲线的形状 3 对非参数方程表示的曲线 曲面进行变换 必须对其每个型值点进行几何变换 不能对其方 程变换 因不满足几何变换不变性 而对参数表示的曲线 曲面来说 可对其参数方程直接进行几何 变换实现曲线曲面的变换 4 便于处理斜率为无穷大的情形 即当斜率为无穷大的时候 计算也不会中断 5 参数方程中 代数或几何相关和无关的变量是完全分离的 而且对变量个数没有限制 从而 便于用户将低维空间的曲线 曲面扩展到高维空间 这种变量分离的特点有助于实现用数学公式处理 几何分量 6 规格化的参数变量使其相应的几何分量是有界的 而不必用另外的参数去定义边界 1 0 t 7 易于用矢量和矩阵表示几何分量 简化了计算 第三章 曲线曲面建模技术 1 21 2 曲线曲面基本性质曲线曲面基本性质 位置矢量 位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 其一阶 二阶和阶导 tztytxtP k 数矢量 如果存在的话 可分别表示为 1 9 dt dP tP 2 2 dt Pd tP k k k dt Pd tP 切矢量 切矢量 若曲线上 两点的参数分别是 和 矢量 其大小以RQttt tPttPP 连接的弦长表示 如果在处有确定的切线 则当趋向于 即时 导数矢量趋向于RQRQR0 t 该点的切线方向 如果选择弧长作为参数 则是单位矢量 s s P ds dP T t 0 lim 法矢量 法矢量 对于空间参数曲线上任意一点 所有垂直切矢量的矢量有一束 且位于同一平面上 T 该平面称为法平面 若对曲线上任意一点的单位切矢为 因为 两边对求导矢得 T1 2 sTs 可见是一个与垂直的矢量 与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢 主0 2 sTsT ds dT T ds dT 法矢的单位矢量称为单位主法矢量 矢量积是第三个单位矢量 垂直于和 平行NNTB TN 于矢量的法矢称为曲线在该点的副法矢 则称为单位副法矢量 BB 对于一般参数 切矢 法矢关系如下t 1 10 tPtP tPtP B tPtPtP tPtPtP TBN 图 3 3 曲线矢量 曲率和挠率曲率和挠率 因为与平行 令 则 ds dT NkNsT s T s T sTk ss 00 limlim 即称为曲率 其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率 与主法矢同向 曲率的倒 s k s 0 lim 数 称为曲率半径 又 两边对求导矢得 将 k 1 0 sTsBs0 sTsBsTsB 代入上式 并注意到 得到 因为 所以两边对kNT 0 sNsB0 sTsB1 2 sB 第三章 曲线曲面建模技术 求导得到 s0 sBsB 可见既垂直于 又垂直于 故有 再令 称为 sB sT sB sNsB sNsB 挠率 挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率 挠率大于 0 等于 0 和小于 0 分别表示曲线 为右旋空间曲线 平面曲线和左旋空间曲线 对于一般参数 可知曲率和挠率的计算公式如下 tk 1 11 3 tP tPtP k 2 tPtP tPtPtP 光顺 光顺 通俗含义指曲线的拐点不能太多 因为曲线拐来拐去 就会不顺滑 对平面曲线而言 相 对光顺的条件是 a 具有二阶几何连续性 b 不存在多余拐点和奇异点 c 曲率变化较小 2 G 连续性 连续性 一条复杂曲线时通常由多段曲线组合而成 曲线段之间的光滑连接问题即为连续性问题 曲线间连接的光滑度的度量有两种 一种是函数的可微性 把组合参数曲线构造成在连接处具有 直到阶连续导矢 即阶连续可微 这类光滑度称之为或阶参数连续性 另一种称为几何连续nn n Cn 性 组合曲线在连接处满足不同于的某一组约束条件 称为具有阶几何连续性 简记为 曲 n Cn n G 线光滑度的两种度量方法并不矛盾 连续包含在连续之中 n C n G 图 3 4 曲线连续性 图 3 5 一阶连续 图 3 6 二阶连续 对于如图 3 4 所示二条曲线和 参数 若要求在结合处达到连续或连续 tP tQ 1 0 t 0 G 0 C 即两曲线在结合处位置连续 则需 0 1 QP 若要求在结合处达到连续 如图 3 5 所示 就是说两条曲线在结合处满足连续的条件下 1 G 0 G 并有公共切矢 1 12 1 0 PQ 0 当时 连续就成为连续 1 1 G 1 C 若要求在结合处达到连续 如图 3 6 所示 即两条曲线在结合处满足连续的条件下 并有 2 G 1 G 公共曲率矢 第三章 曲线曲面建模技术 1 13 3 3 0 0 0 1 1 1 Q QQ P PP 代入 1 12 得 1 14 1 1 0 1 2 PPQP 此式可进一步表示为 1 15 1 1 0 2 PPQ 即在和确定的平面内 为任意常数 当 时 连续就成为 0 Q 1 P 1 P 1 0 2 G C2连续 在弧长作参数的情况下 连续保证连续 连续能保证连续 但反过来不行 也 1 C 2 G 1 C 2 G 就是说连续的条件比连续的条件要苛刻 n C n G 1 31 3 曲线曲面生成曲线曲面生成 插值 插值 给定一组有序的数据点 构造一条曲线顺序地通过这些数据点 称为对这niPi 1 0 些数据点进行插值 所构造的曲线称为插值曲线 常用插值方法有线性插值 抛物线插值等 逼近 逼近 构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点 称为对这些数据点进行逼近 所构 造的曲线为逼近曲线 拟合 拟合 插值和逼近统称为拟合 fitting 2 Bezier 曲线曲面曲线曲面 2 12 1 BezierBezier 曲线曲线 2 1 1 Bezier 曲线定义曲线定义 给定空间个点的位置矢量 则 Bezier 参数曲线上各点坐标的插值公式1 n 2 1 0 nipi 为 2 1 1 0 0 ttBptp n i nii 将其写成矩阵表达形式为 2 2 n nnnn P P P tBtBtBtP 1 0 1 0 第三章 曲线曲面建模技术 其中 构成该 Bezier 曲线的特征多边形 是次 Bernstein 基函数 i P tB ni n 2 3 1 0 1 1 nitt ini n ttCtB iniinii nni 约定 10 n 1 0 0 n1 0 0 tB 1 nttB 1 1 0 ttB 1 1 2 n 2 2 0 1 ttB 1 2 2 1 tttB 2 2 2 ttB 3 n 3 3 0 1 ttB 2 3 1 1 3 tttB 1 3 2 3 2 tttB 3 3 3 ttB 如图 3 7 所示为一条的三次 Bezier 曲线实例 3 n 图 3 7 三次 Bezier 曲线 三次 Bezier 曲线可以表达式为 2 4 1 0 3 0 3 ttBptP i ii 其中 3 3 0 1 ttB 2 3 1 1 3 tttB 1 3 2 3 2 tttB 3 3 3 ttB 因此其矩阵表达式为 2 5 3 2 1 0 23 32103 33 23 13 0 0001 0033 0363 1331 1 P P P P ttt PPPPtBtBtBtBtP T 如果用上式求的值 则取的坐标进行计算 同理可求 具体如下 tPx i PX tPy tPz T xxxxx PPPPtBtBtBtBtP 32103 33 23 13 0 T yyyyy PPPPtBtBtBtBtP 32103 33 23 13 0 第三章 曲线曲面建模技术 T zzzzz PPPPtBtBtBtBtP 32103 33 23 13 0 由上式可以看到 Betnstain 基函数仅需计算一次 2 1 2 Betnstein 基函数基函数 本节主要介绍 Betnstein 基函数的性质 其性质如图 3 8 所示 1 正性 2 6 1 2 1 1 0 0 1 00 nit t tB ni 2 端点性质 2 7 otherwise ni B otherwise i B ni ni 0 1 1 0 0 1 0 3 权性 2 8 1 0 1 0 ttB n i ni 由二项式定理可知 n i n i n inii nni ttttCtB 00 1 1 1 图 3 8 Betnstein 基函数的性质 4 对称性 2 9 tBtB ninni 因为 1 1 1 1 1 tBttCttCtB ni inii n ininnin nnin 5 递推性 第三章 曲线曲面建模技术 其计算过程表示为 1 0 1 1 11 nittBtBttB ninini tB ni 1 tB ni 2 tB ni 3 tB ni 1 1 tB ni 2 1 tB ni 3 1 tB ni 2 2 tB ni 3 2 tB ni 3 3 tB ni 递推性即高一次的 Bernstein 基函数可由两个低一次的 Bernstein 调和函数线性组合而成 6 导函数 2 10 1 0 1 1 1 nitBtBntB ninini 7 最大值 在处达到最大值 tB ni n i t 2 1 3 Bezier 曲线性质曲线性质 图 3 9 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的性质如图 3 9 所示 1 端点性质 a 曲线端点位置矢量 由 Bernstein 基函数的端点性质可以推得 因此 Bezier 曲线的起点 终点 0 0 PP n PP 1 与相应的特征多边形的起点 终点重合 b 端点切矢量 因为 即 1 0 1 1 1 n i ninii tBtBPntP 0 01 PPnP 1 1 nn PPnP 上式说明 Bezier 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一 致 c 端点二阶导矢 2 11 2 0 2 12 2 1 n i niiii tBPPPnntP 第三章 曲线曲面建模技术 即 2 1 0 012 PPPnnP 2 1 1 21 nnn PPPnnP 上式表明 2 阶导矢只与相邻的 3 个顶点有关 事实上 r 阶导矢只与 r 1 个相邻点有关 与 更远点无关 2 对称性 颠倒控制点顺序 即控制顶点 构造出的新 Bezier 曲线 则与原 Bezier 1 0 niPP in t i 曲线形状相同 仅走向相反 因为 2 12 n i n i n i n i niinininniinnii ttBPtBPtBPtBPtC 0000 1 0 1 1 这个性质说明 Bezier 曲线在起点处有什么几何性质 在终点处也有相同的性质 3 凸包性 由于 且 这一结果说明当 在 0 1 区间变 n i ni tB 0 1 1 0 10 1 0 nittB ni t 化时 对某一个 值 是特征多边形各顶点的加权平均 权因子依次是 在几何图形上 t tP i P tB ni 意味着 Bezier 曲线在中各点是控制点的凸线性组合 即曲线落在构成的凸包之中 tP 1 0 t i P i P 如图 3 10 所示 图 3 10 Bezier 曲线的凸包性 4 几何变换不变性 即某些几何特性不随坐标变换而变化的特性 Bezier 曲线的位置和形状与其特征多边形顶点 的位置有关 它不依赖坐标系的选择 即有 1 0 niPi 参变量是 的置换 n i niinii ab au BPtBP 0 ut 5 变差缩减性 若 Bezier 曲线的特征多边形是一个平面图形 则平面内任意直线与的交点个数不 n PPP 10 tc 多于该直线与其特征多边形的交点个数 这一性质叫变差缩减性质 此性质反映了 Bezier 曲线比其特 征多边形的波动还小 也就是说 Bezier 曲线比其特征多边形的折线更光顺 如图 3 11 所示 第三章 曲线曲面建模技术 图 3 11 Bezier 曲线与其特征多边形 6 仿射不变性 对于任意的仿射变换 有 A 2 13 0 tBPAtBPAtPA nii n i nii 即在仿射变换下 的形式不变 tP 2 1 4 Bezier 曲线几何作图曲线几何作图 计算 Bezier 曲线上的点 可用 Bezier 曲线方程 但使用 de Casteljau 提出的递推算法则要简单的多 如图 3 19 所示的抛物线 设 是一条抛物线上顺序三个不同的点 过和点的两 0 P 2 0 P 2 P 0 P 2 P 切线交于点 在点的切线交和于和 则如下比例成立 1 P 2 0 P 10P P 12P P 1 0 P 1 1 P 2 14 1 1 2 0 2 0 1 0 2 1 1 1 11 1 1 0 1 00 PP PP PP PP PP PP 这就是抛物线的三切线定理 其几何意义如图 3 12 所示 图 3 12 抛物线的三切线定理 当 固定 引入参数 令上述比值为 即有 0 P 1 P 2 Pt 1 tt 2 15 1 1 1 0 2 0 21 1 1 10 1 0 1 1 1 tPPtP tPPtP tPPtP 第三章 曲线曲面建模技术 从 0 变到 1 第一 二式就分别表示控制二边形的第一 二条边 它们正好是两条一次 Bezier 曲t 线 将一 二式代入第三式得 2 16 2 2 10 22 0 1 2 1 PtPttPtP 当 从 0 变到 1 时 表示由三顶点 定义的一条二次 Bezier 曲线 并且表明 这二次t 0 P 1 P 2 P Bezier 曲线可以定义为分别由前两个顶点和后两个顶点决定的一次 Bezier 曲线的 2 0 P 10 PP 21 PP 线性组合 依次类推 由四个控制点定义的三次 Bezier 曲线可被定义为分别由和 3 0 P 210 PPP 确定的二条二次 Bezier 曲线的线性组合 进一步由个控制点定义 321 PPP 1 n 1 0 niPi 的次 Bezier 曲线可被定义为分别由前 后个控制点定义的两条次 Bezier 曲线与n n P0n 1 n 1 0 n P 的线性组合 1 1 n P 2 17 1 0 1 1 1 1 00 ttPPtP nnn 由此得到 Bezier 曲线的递推公式如下 2 18 kninktPPt kP P k i k i i k i 1 0 2 1 1 0 1 1 1 这便是著名的 de Casteljau 算法 用此递推公式 在给定参数下 求 Bezier 曲线上一点非常 tP 有效 且上式中是定义 Bezier 曲线的控制点 即为曲线上具有参数 的点 de jj PP 0n P0 tPt Casteljau 算法稳定可靠 直观简便 可以编出十分简捷的程序 是计算 Bezier 曲线的基本算法和标准 算法 P0 n P1 n 1 P0 n 1 P0 n 2 P1 n 2 P2 n 2 P3 n 3 P2 n 3 P1 n 3 P0 n 3 function deCasteljau i j begin if i 0 then return P0 j else return 1 u deCasteljau i 1 j u deCasteljau i 1 j 1 end 第三章 曲线曲面建模技术 上述算法也可用简单的几何作图来实现 给定参数 将定义域分成长度为的两 1 0 t 1 tt 段 依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割 所得分点就是第一级递推生成的中间顶点 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割 得第二级中间顶点 1 1 0 1 niPi 重复进行下去 直到级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上的点 2 1 0 2 niPi n n P0 tP 如图 3 14 所示为几何作图求三次 Bezier 曲线 给定参数域 上的点 把定义域分成 1 0 t3 1 t 长度为 1 3 1 1 3 的两段 依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割 所得分点就是第 一级递推生成的中间顶点 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割 1 0 P 1 1 P 1 2 P 得第二级中间顶点 重复进行下去 直到第 3 级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上 2 0 P 2 1 P 3 0 P 的点 tP P0 P1 P2 P3 P01 P11 P21 P02 P03 P12 图 3 14 几何作图法求 Bezier 曲线上一点 3 n3 1 t 上述过程的 de casteljau 算法递推出的呈三角形 对应结果如图 3 15 所示 递归算法是上述过 k P 1 程的逆过程 首先从上向下递归 直到最底层后开始返回 最顶层点即为曲线上的点 3 0 P P0 3 P1 2 P0 2 P0 1 P1 1 P2 1 P3P2P1P0 图 3 15 时 的递推关系3 n n i P 另外 这一算法隐含说明任一 Bezier 曲线均可被分割为两段 Bezier 曲线 第一段由 0 P 确定 参数空间为 0 1 3 第二段 确定 参数空间为 1 3 1 分割 1 0 P 2 0 P 3 0 P 3 0 P 2 1 P 1 2 P 3 P 后的曲线形状保持不变 如图 3 16 所示 第三章 曲线曲面建模技术 P0 P1 P2 P3 P01 P11 P21 P02 P03 P12 P0 P3 P01 P21 P02 P03 P12 图 3 16 Bezier 曲线的分割 3 n3 1 t 2 22 2 BezierBezier 曲面曲面 根据上一节的 Bezier 曲线的定义以及性质 可以方便地给出 Bezier 曲面的定义和性质 Bezier 曲 线的一些算法也很容易扩展到 Bezier 曲面的情况 2 2 1 Bezier 曲面定义曲面定义 设为个空间点列 则次张量积形式的 Bezier 1 0 1 0 mjniPij 1 1 mnnm 曲面定义为 2 19 1 0 00 vuvBuBPvuP n i m j mjniij 其中 是 Bernstein 基函数 依次用线段连接点 inii nni uuCuB 1 jmjj mmj vvCvB 1 列中相邻两点所形成的空间网格 称之为特征网格 1 0 1 0 mjniPij Bezier 曲面的矩阵表示式是 2 20 1 0 10 11110 00100 1 0 vB vB vB PPP PPP PPP uBuBuBvuP mm m m nmnn m m nnnn 在一般实际应用中 不大于 4 nm 以双三次 Bezier 曲面为例 将其写为矩阵表达式则为 10001 0033 0363 1331 0001 0033 0363 1331 1 2 3 33323130 23222120 13121110 03020100 23 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 v v v PPPP PPPP PPPP PPPP uuu vBvBvBvBPuBuBuBuBvuP T ij 其具体计算方法为 第三章 曲线曲面建模技术 T ijXX vBvBvBvBPuBuBuBuBvuP 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 T ijYY vBvBvBvBPuBuBuBuBvuP 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 T ijZZ vBvBvBvBPuBuBuBuBvuP 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 其中 上式中各基函数的值只需计算一次 先按等参数方向均匀离散成网格点 再按一定规则绘制网格线绘制其线框图 绘制的线框图如图 3 17 所示 图 3 17 线框图 2 2 2 Bezier 曲面性质曲面性质 除变差减小性质外 Bezier 曲线的其它性质可推广到 Bezier 曲面 1 Bezier 曲面特征网格的四个角点正好是 Bezier 曲面的四个角点 即 00 0 0 PP 0 0 1 n PP m PP 0 1 0 nm PP 1 1 2 Bezier 曲面特征网格最外一圈顶点定义 Bezier 曲面的四条边界 且每条边界曲线仍为一 Bezier 曲线 该边界 Bezier 曲线由对应的一条边界特征网格顶点确定 即 T nnnnn PPPuBuBuBuP 01000 1 0 0 T nnnnnnnn PPPuBuBuBuP 10 1 0 1 T mmmmm PPPvBvBvBvP 00201 1 0 0 T mmmmmmmm PPPvBvBvBvP 21 1 0 1 推广之 沿 Bezier 曲面任何等参数的截线均为一 Bezier 曲线 读者证明 3 Bezier 曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点 共二排顶点 有关 且 和 如图 3 26 所示打上斜线的三角形 组 011000 PPP 1 010 nnn PPP nmnmmn PPP 11 nmnmm PPP 11 0 成的平面与曲面在对应的角点相切 其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点 共三排顶点 有关 4 几何不变性 5 对称性 6 凸包性 第三章 曲线曲面建模技术 如图 3 11 所示 以双三次 Bezier 曲面 为例 可以 T ij vBvBvBvBPuBuBuBuBtP 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 清楚看出它的上述几何特性 图 3 18 双三次 Bezier 曲面及边界信息 2 2 3 Bezier 曲线拼接曲线拼接 几何设计中 一条 Bezier 曲线往往难以描述复杂的曲线形状 这是由于增加由于特征多边形的顶 点数 会引起 Bezier 曲线次数的提高 而高次多项式又会带来计算上的困难 实际使用中 一般不超 过 10 次 所以有时采用分段设计 然后将各段曲线相互连接起来 并在接合处保持一定的连续条件 下面讨论两段 Bezier 曲线达到不同阶几何连续的条件 给定两条 Bezier 曲线和 相应 tP tQ 控制点为和 且令 如图 3 19 所示 1 0 niPi 1 0 miQi 11 jjjiii QQbPPa 现在把两条曲线连接起来 1 连续的充要条件是 0 G 0 QPn 2 连续的充要条件是 三点共线 即 1 G 1 n P 0 QPn 1 Q 0 1 n ab 3 连续的充要条件是 在连续的条件下 并满足方程 2 G 1 G 1 1 0 2 PPQ 图 3 19 Bezier 曲线的拼接 将 和 代入 并整理 可以得到 0 Q 1 P 1 P n PQ 0 121 nn PPQQ v u 第三章 曲线曲面建模技术 2 21 2 2 1 22 2 1 221 1 2 nnn PP n P n Q 选择和的值 可以利用该式确定曲线段的特征多边形顶点 而顶点 已被连 tQ 2 Q 0 Q 1 Q 1 G 续条件所确定 要达到连续的话 只需自由选取顶点 2 G 2 Q 如果上式的两边都减去 则等式右边可以表示为和的线性组合 n P 1 nn PP 21 nn PP 2 22 1 2 21 2 1 2 2 nnnnn PPPP n PQ 这表明 和五点共面 事实上 在接合点两条曲线段的曲率相等 2 n P 1 n P 0 QPn 1 Q 2 Q 主法线方向一致 还可以断定 和位于直线的同一侧 2 n P 2 Q 11Q Pn 2 2 4Bezier 曲面拼接曲面拼接 如图 3 13 所示 设两张次 Bezier 曲面片nm 2 23 1 0 00 00 vuvBuBQvuQ vBuBPvuP n i m j mjniij n i m j mjniij 分别由控制顶点和定义 ij P ij Q 图 3 20 Bezier 曲面片的拼接 如果要求两曲面片达到连续 则它们有公共的边界 即 0 G 2 24 0 1 vQvP 第三章 曲线曲面建模技术 于是有 2 1 0 0 miQP ini 如果又要求沿该公共边界达到连续 则两曲面片在该边界上有公共的切平面 因此曲面的法向 1 G 矢量应当是跨界连续的 而曲面的偏导切向矢量不必跨界连续 如图 3 31 所示 仅需 1 vPv 共线 共面即可 0 vQv 1 vPu 1 vPv 0 vQu 0 vQv Pv 1 v Pu 1 v Qv 0 v Qu 0 v P Q P Q 图 3 21 跨界连续 由此可知 2 25 1 1 0 0 vPvPvvQvQ vuvu 下面来研究满足这个方程的两种方法 1 鉴于公式 3 4 公式 3 5 最简单的取解 但更苛刻 是 2 26 1 0 vPvvQ uu 这相当于要求合成曲面上为常数的所有曲线 在跨界时有切向的连续性 为了保证式 3 6 两边v 关于的多项式次数相同 必须取 一个正常数 于是有 v v 2 27 1 0 0 11 miPPQQ inniOii 即 1 0 0 101 miPPQQ inniii 如图 3 22 所示为两张三次 Bezier 曲面的拼接示意图 图 3 22 三次 Bezier 曲面的拼接 第三章 曲线曲面建模技术 2 公式 3 6 使得两张曲面片在边界达到连续时 只涉及面和的两列控制顶 1 G vuP vuQ 点 比较容易控制 用这种方法匹配合成的曲面的边界 向和向是光滑连续的 实际上 该式的限制是苛刻的 uv 为了构造合成曲面时有更大的灵活性 Bezier 在 1972 年放弃把 3 6 式作为连续的条件 而以 1 G 2 28 1 1 0 vPvvPvvQ vuu 要满足 2 28 式 仅仅要求位于和所在的同一个平面内 也就是要求 0 vQu 1 vPu 1 vPv 位于曲面片边界上相应点处的切平面 这样就有了大得多的余地 但跨界切矢在跨越 0 vQu vuP 曲面片的边界时就不再连续了 其几何意义可以用图 3 23 解释 如图 3 23 所示的两张三次 Bezier 曲 面的拼接条件仅需相应顶点满足共面即可 显然这一条件更为宽松 图 3 23 顶点满足共面的三次 Bezier 曲面的拼接 同样 为了保证等式两边关于的多项式次数相同 须为任意正常数 是的任意线性函v v v 数 如果要实现多张曲面拼接 需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能 为实现这一目标往往需 要更高阶的曲面 常用的方法是对低阶曲面升阶来提高阶次 3 B 样条曲线与曲面样条曲线与曲面 Bezier 曲线具有很多优越性 但有二点不足 1 特征多边形顶点数决定了它的阶次数 当较大时 不仅计算量增大 稳定性降低 且控制n 顶点对曲线的形状控制减弱 2 不具有局部性 即修改一控制点对曲线产生全局性影响的性质 因此 1972 年 Gordon 等用 B 样条基函数代替 Bernstein 基函数 从而改进上述缺点 3 13 1 B B 样条曲线样条曲线 3 1 1 均匀双三次均匀双三次 B 样条曲线样条曲线定义定义 1 一次均匀 一次均匀 B 样条曲线的矩阵表示样条曲线的矩阵表示 空间个顶点定义段一次 二阶 均匀 B 样条曲线 即每相邻两个点1 n 1 0 niPi n1 k 第三章 曲线曲面建模技术 可构造一曲线段 其定义表达为 uPi 3 1 ii ii i i i PuNPuN uPPu uniuuP 1 10 1 01 11 1 1 111 0 1 1 P P Pi P1 P0 Pn 1 Pn 图 3 24 一次 B 样条曲线 由图 3 24 所示可知 第 i 段曲线端点位置矢量 且一次均匀 B 样条 iiii PPPP 1 0 1 曲线就是控制多边形 2 二次均匀 二次均匀 B 样条曲线样条曲线 空间个顶点的位置矢量定义段二次 三阶 均匀 B 样条曲线 1 n 1 0 niPi 1 n2 k 每相邻三个点可构造一曲线段 其定义表达为 1 1 0 niuPi 3 2 12 22 112 0 1 22 1 2 1 1 2 2 1 221 2 1 21 2 1 10 1 1 011 022 121 1 2 1 iii iii i i i i PuNPuNPuN PuPuuPuu uniuuuP P P P 图 3 25 二次 B 样条曲线 由图 3 25 可知 二次 B 样条曲线有如下矢量 a 端点位置矢量 即曲线的起点和终点分别位于 5 0 0 1iii PPP 5 0 1 1 iii PPP 第三章 曲线曲面建模技术 控制多边形和的中点 若 三个顶点位于同一条直线上 蜕化成 ii PP 1 1 iiP P 1 i P i P 1 i P uPi 直线边上的一段直线 11 iii PPP b 端点一阶导数矢量 即曲线的起点切矢和终点 1 0 iii PPP iii PPP 1 1 iii PPP 1 0 12 1 iii PPP 切矢分别和二边重合 且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续 c 二阶导数矢量 即曲线段内任何点处二阶 1 2 0 11 tPPPPPP iiiiii 导数相等 且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续 3 三次均匀 三次均匀 B 样条曲线样条曲线 空间个顶点的位置矢量构造段三次 四阶 均匀 B 样条曲线1 n 1 0 niPi 2 n3 k 段 每相邻四个点可定义一曲线段 其定义表达为 2 1 0 niuPi 3 3 23 313 23 113 0 2 3 1 3232 1 3 2 1 1 23 3 1 3331 3 1 364 3 1 1 3 1 10 2 1 0141 0303 0363 1331 1 6 1 iiii iiii i i i i i PuNPuNPuNPuN PuPuuuPuuPu uniuuuuP P P P P 图 3 26 三次 B 样条曲线 由图 3 26 可知 二次 B 样条曲线有如下矢量 a 端点位置矢量 即起点位于 4 6 1 0 11 iiii PPPP 4 6 1 1 21 iiii PPPP 三角形中线的 1 3 处 终点位于三角形中线的 1 3 处 可见 B 样条 11 iii PPP 1 MPi 21 iii PPP 21M Pi Pi 1 Pi Pi 1 Pi 2 第三章 曲线曲面建模技术 曲线的端点并不通过控制点 b 端点一阶导数矢量 即曲线起点的2 0 11 iii PPP 0 2 1 12 iiii PPPP 切矢平行于的底边 其模长为底边长的 1 2 同样曲线终点的切矢平行于 11 iii PPP 11 ii PP 11 ii PP 的底边 其模长也为底边长的 1 2 且相邻两曲线段具有一阶导数连续 因 21 iii PPP 2 iiP P 2 iiP P 0 1 1 iiPP c 二阶导数矢量 即曲线段在 11 2 0 iiii PPPP 0 2 1 121 iiiii PPPPP 端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线 且两曲线段在节点处具有二 阶导数连续 因 0 1 ii PP 若 三个顶点位于同一条直线上 三次均匀 B 样条曲线将产生拐点 若 1 i P i P 1 i P 1 i P 四点共线 则变成一段直线 若 三点重合 则过点 i P 1 i P 2 i P uPi 1 i P i P 1 i P uPi i P 图 3 27 三次 B 样条曲线的一些特例 3 1 2 均匀双三次均匀双三次 B 样条曲线性质样条曲线性质 1 局部性局部性 空间个控制顶点构造段次 阶 B 样条曲线段 且每一曲线1 n 1 0 niPi 1 knk1 k 段由 等个控制顶点确定 与其它控制点无关 1 1 0 kniuPi 1 i P i P 1 ki P1 k 2 整体性和连续性整体性和连续性 一般情况下 即无重节点 重顶点 个控制顶点所构造的段次 阶 B 样1 n 1 knk1 k 第三章 曲线曲面建模技术 条曲线段组成一完整的 B 样条曲线 曲线段与段之间具有阶函数连续性 或阶几何连续性 1 k C 1 k G 当有 K 重顶点时 将可能产生尖点 前面已介绍 虽然仍满足函数连续 但不满足几何连续 3 几何不变性几何不变性 改变坐标系不改变曲线形状 4 变差缩减性变差缩减性 与 Bezier 曲线性质相同 5 造型的灵活性造型的灵活性 由于其良好的局部特性 可以方便构造低次的复杂曲线 且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的 6 整体光滑性整体光滑性 由于其整体性和连续性 曲线具有整体的光滑性 但是 B 样条首末两端点不通过控制顶点 不过此缺点与其优点比较微不足道 正由于上述优点 B 样条曲线比 Bezier 应用更为广泛 为商用系统普遍采用 3 1 3 均匀三次均匀三次 B 样条曲线几何作图样条曲线几何作图 思考 用作图法绘制如图 3 28 所示均匀三次 B 样条曲线 P0 P 3 P1 P2 P4 P5 P6 P7 P8 图 3 28 绘制实例 由本章节的图和上一章节的图比较可知 B 样条曲线段与段之间具有天然的连续性 具有整体的 光滑特性 而 Bezier 曲线段与段之间必须光滑拼接 因此在商用系统中 B 样条方法应用更为广泛 3 23 2 均匀双三次均匀双三次 B B 样条曲面样条曲面 3 2 1 均匀双三次均匀双三次 B 样条曲面定义样条曲面定义 已知曲面的控制点 参数 且 构造双三次 B 样条 3 2 1 0 ji j i Pwu 10 wu3 lk 曲面的步骤同上述 1 沿向构造均匀三次 B 样条曲线 有 w 第三章 曲线曲面建模技术 3 4 TT B TT B TT B TT B w w w w WMPPPPP WMPPPPP WMPPPPP WMPPPPP 333231303 232221202 131211101 030201000 2 再沿向构造均匀三次 B 样条曲线 此时可认为顶点沿滑动 每组顶点对应相同的 当值由 0u 到 1 连续变化 即形成均匀双三次 B 样条曲面 如图 3 29 所示 此时表达式为 3 5 TT BBB w w w w wuWPMUM P P P P UMS 3 2 1 0 其中 33323130 23222120 13121110 03020100 PPPP PPPP PPPP PPPP P 0141 0303 0363 1331 6 1 B M 图 3 29 双三次 B 样条曲面片 上式 3 5 也可表达为 T ijji wNwNwNwNPuNuNuNuNwuS 3 33 23 13 0 44 3 33 23 13 0 对于由控制点组成的均匀双三次 B 样条曲面 如图 3 30 所示 其 1 0 1 0 njmi j i P 定义如下 u w u 1 u 0 w 1 v 0 Pi j 3 Pi 1 j 3 Pi 2 j 3Pi 3 j 3 Pi j 2 Pi 1 j 2 Pi 2 j 2 Pi 3 j 2 Pi j 1 Pi 1 j 1 Pi 2 j 1 Pi 3 j 1 Pi 2 j Pi 3 j Pi 1 j Pi j 第三章 曲线曲面建模技术 图 3 30 由控制点组成的均匀双三次 B 样条曲面 3 3 3 2 3 1 3 0 3 32 31 3 3 3 22 21 2 2 3 12 11 1 1 3 2 1 3 33 23 13 0 wN wN wN wN PPPP PPPP PPPP PPPP uNuNuNuNwuS jijijiji jijijiji jijijiji jijijiji ji 即任意单张均匀双三次 B 样条曲面片是由等 16 个 wuS ji 3 3 1 jjlikP lk 控制点定义而成 图 3 31 为一均匀双三次 B 样条曲面的示意图 图 3 31 均匀双三次 B 样条曲面示意图 3 2 2 均匀双三次均匀双三次 B 样条曲面性质样条曲面性质 B 样条曲面具有 B 样条曲线的多种性质 曲面的片与片之间具有天然的连续性 下面仍以均匀双 三次曲面为例说明 B 样条曲面的性质 1 均匀双三次 B 样条曲面的顶点不经过任何特征网格顶点 且仅与各角点对应的 9 个特征网格 顶点有关 如 1 12 11 2 11 2 2 22 9 4 9 1 36 1 0 0 jijijijijijijijijiji PPPPPPPPPS 同理可得 1 0 ji S 0 1 ji S 1 1 ji S 2 均匀双三次 B 样条曲面的边界曲线仍为 B 样条曲线 该边界 B 样条曲线由对应的三条边界特 征网格顶点确定 由 B 样条曲面得定义可得 第三章 曲线曲面建模技术 2 31 3 3 2 21 2 2 2 11 1 1 2 1 3 33 23 13 0 3 32 31 3 3 3 22 21 2 2 3 12 11 1 1 3 2 1 3 33 23 13 0 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 0 6 1 3 2 6 1 0 jijiji jijiji jijiji jijiji jijijiji jijijiji jijijiji jijijiji ji PPP PPP PPP PPP uNuNuNuN PPPP PPPP PPPP PPPP uNuNuNuNuS 同理可得 推广之 沿 B 样条曲面任何等参数的截线均为一 B 1 uS ji 0 wS ji 1 wS ji 样条曲线 读者证明 3 均匀双三次 B 样条曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻二排顶点 共三排 顶点 有关 1 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 0 6 1 3 2 6 1 0 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 6 13 26 1 6 1 3 2 6 1 0 1 1 2 31 3 3 2 21 2 2 2 11 1 1 2 1 3 33 23 13 0 3 32 31 3 3 3 22 21 2 2 3 12 11 1 1 3 2 1 3 33 23 13 0 2 31 3 3 2 21 2 2 2 11 1 1 2 1 3 33 23 13 0 2 31 3 31 3 2 21 2 21 2 2 11 1 11 1 2 1 1 3 33 23 13 01 uS PPP PPP PPP PPP uNuNuNuN PPPP PPPP PPPP PPPP uNuNuNuNuS PPP PPP PPP PPP uNuNuNuN PPPP PPPP PPPP PPPP uNuNuNuNuS jiu jijiji jijiji jijiji jijiji jijijiji jijijiji jijijiji jijijiji jiu jijiji jijiji jijiji jijiji jijijiji jijijiji jijijiji jijijiji jiu 依次可得 可见均匀三次 B 样条曲面具有一阶函数连续性 1 0 1 wSwSuS jiwjiwjiu 同理可得 其跨界二阶导矢只与定义该边界 1 0 1 0 wSwSuSuS jiwjiwjiujiu 的及相邻两排顶点 共三排顶点 有关 且均匀三次 B 样条曲面具有二阶函数连续性 4 几何不变性 5 对称性 第三章 曲线曲面建模技术 6 凸包性 B 样条曲面的线框图的绘制需先沿等参数方向离散成网格点 然后依次连线绘制 如图 3 32 为一 B 样条曲面的线框图 图 3 32 B 样条曲面线框图 由上图 3 32 可知 B 样条方法能够很方便绘制复杂曲面 显然比 Bezier 方法更灵活 因此应用更 广泛 3 33 3 一般一般 B B 样条曲线曲面样条曲线曲面 3 3 1 一般一般 B 样条曲线及性质样条曲线及性质 1 定义 定义 由前面的内容得