（试题 试卷 真题）第17讲：平移--解法归纳(84页)

第17讲：平移-解法归纳轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2013年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）点的平移；（2）直线（线段）的平移；（3）曲线的平移；（4）三角形的平移；（5）四边形的平移；（6）其它曲面的平移。一、点的平移：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年贵州安顺3分）将点A（2，3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是【 】A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限例2：（2013年湖南湘西3分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A的坐标是【 】A（2，3） B（2，6） C（1，3） D（2，1）例3：（2013年四川遂宁4分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A，点A关于y轴对称的点的坐标是【 】A（3，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2）例4：（2013年甘肃天水4分）已知点M（3，2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是 例5：（2013年湖南岳阳4分）如图，点P（3，2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为 例6：（2013年四川广安3分）将点A（1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A的坐标为 15题图例7：（2013年四川绵阳4分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（2，3），嘴唇C点的坐标为（1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是 右眼的坐标为（0，3）。向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）。例8：（2013年湖北十堰10分）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论二、直线（线段）的平移：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1： （2013年福建厦门3分）在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O、A的对应点分别为点O1、A1若点O（0，0），A（1，4），则点O1、A1的坐标分别是【 】 A（0，0），（1，4） B（0，0），（3，4） C（2，0），（1，4） D（2，0），（1，4）例2：（2013年广西南宁3分）如图，直线与双曲线（k0，x0）交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线（k0，x0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为【 】A、3 B、6 C、 D、【答案】D。例3：（2013年山东泰安3分）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是【 】A1m7 B3m4 Cm1 Dm4交点在第一象限，。故选C。例4：（2013年吉林长春3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），OAB沿x轴向右平移后得到OAB，点A的对应点在直线上一点，则点B与其对应点B间的距离为【 】A B3 C4 D5例5：（2013年内蒙古包头3分）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 例6：（2013年甘肃天水12分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）例7：（2013年福建泉州12分）如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A（2，0），P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使APO=30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由【答案】解：（1）在中，令x=0，得y=；令y=0，得x=2。C（0，），B（2，0）。OC=，OB=2。例8：（2013年福建晋江13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B设直线l的运动时间为t秒（1）填空：当t=1时，P的半径为 2 ，OA= 2 ，OB= 2 ；（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由lly=xy=xBBPPxOAxOA(备用图)(图10)【答案】解：（1）；2；2。（2）符合条件的点C有3个，分别为C1（t，3t）、C2（t，t）、C3（t，t）。（3）DAC是等腰直角三角形。理由如下：当点C在第一象限时，如图2，连接DA、DC、PA、AC，【考点】圆的综合题，线动平移问题，垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，例9：（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由例10：（2013年湖南益阳10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xpx1=x2xp，得，同理，所以AB的中点坐标为由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离（3）过点C作CGAB于G，过点A作AHPC于H，利用A，C点坐标得出H点坐标，进而得出CG=AH，求出即可。例11：（2013年江苏泰州10分） 如图，在平面直角坐标系中直线y=x2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式例12：（2013年江苏扬州10分）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0m3试比较线段MN与PQ的大小【答案】解：（1）当x=0时，y=8；当y=0时，x22x8=0，解得，x1=4，x2=8。A（0，8），B（4，0）。设一次函数解析式为y=kx+b，将A（0，8），B（4，0）分别代入解析式得，解得，。例13：（2013年四川凉山12分）如图，抛物线（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由。例14：（2013年四川泸州8分）如图，已知函数与反比例函数（x0）的图象交于点A将的图象向下平移6个单位后与双曲线交于点B，与x轴交于点C（1）求点C的坐标；（2）若，求反比例函数的解析式例15：（2013年四川资阳9分）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线（a0，x0）分别交于D、E两点（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：分别求出直线l与双曲线的解析式；若将直线l向下平移m（m0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值三、曲线的平移：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1： （2013年上海市4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是【 】（A） （B） （C） （D） 例2：（2013年广东茂名3分）下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是【 】Ay=3x2+2 By=3（x1）2 Cy=3（x1）2+2 Dy=2x2例3：（2013年贵州毕节3分）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为【】A B C D例4：（2013年黑龙江哈尔滨3分）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是【 】(A) (B) (C) (D)例5：（2013年湖北恩施3分）把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为【 】A B C D例6：（2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】A2 B4 C8 D16【答案】B。例7：（2013年浙江衢州3分）抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为【 】Ab=2，c=6 Bb=2，c=0 Cb=6，c=8 Db=6，c=2例8：（2013年辽宁大连3分）如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 【答案】。【考点】二次函数图象与平移变换，三角形中位线定理，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。例9：（2013年河南省4分）如图，抛物线的顶点为P（2，2）与y轴交于点A（0，3），若平移该抛物线使其顶P沿直线移动到点，点A的对应点为，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为 . 过点A作AB于点B，则。阴影部分的面积为。例10：（2013年福建莆田12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若ACD的面积为3求抛物线的解析式；将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且PAB=DAC，求平移后抛物线的解析式例11：（2013年广东佛山10分）如图，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）例12：（ 2013年广西崇左12分）抛物线y=x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）ACB和ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且CDP与ABC相似，求点P的坐标例13：（ 2013年广西河池12分）已知：抛物线C1：yx2。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。（1）求抛物线C2的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？例14：（2013年湖南株洲10分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F求证：tanEDFtanECP=【答案】解：（1）设抛物线C1的顶点式形式（a0），抛物线过点（0，），解得a=。抛物线C1的解析式为，一般形式为。（2）当m=2时，m2=4，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证。例15：（2013年江苏镇江9分）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到灵活运用这一知识解决问题如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a0）的图象l相交于点A（2，2）和点B（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n0）个单位长度，得到的图象分别记为C和l，已知图象C经过点M（2，4）求n的值；分别写出平移后的两个图象C和l对应的函数关系式；直接写出不等式的解集四、三角形的平移：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年辽宁铁岭3分）如图，点G、E、A、B在一条直线上，RtEFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动设EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是【 】例2：（2013年山东滨州3分）如图，等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：AD=BC；BD、AC互相平分；四边形ACED是菱形其中正确的个数是【 】A0 B1 C2 D3由可得AD=BC，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形。BD、AC互相平分，故正确。由可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即正确。综上可得正确，共3个。故选D。例3：（2013年海南省3分）如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是【 】AAB=BC BAC=BC CB=60 DACB=60例4：（2013年湖北荆州3分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1，连结AD1、BC1若ACB=30，AB=1，CC1=x，ACD与A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：A1AD1CC1B；当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；当x=2时，BDD1为等边三角形；（0x2）；其中正确的是 （填序号）【答案】。例5：（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是 （写出一个即可）例6：（2013年四川宜宾3分）如图，将面积为5的ABC沿BC方向平移至DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为 例7：（2013年天津市10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=OBA（1）如图，求点E的坐标；（2）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示，并求出使取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（1）如图，点A（2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4。OAE=OBA，EOA=AOB=90，OAEOBA。，即，解得，OE=1。EE=AA=。点E的坐标是（，1）。例8：（2013年重庆市A12分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作RtAED，EAD=300，AED=900。（1）求AED的周长；（2）若AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒，A0E0D0与BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图，在（2）中，当AED停止移动后得到BEC，将BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。 例9：（2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AEDE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片GMN，NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设GMN与AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。 （2）分0t10和10t16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。例10：（2013年广东省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，FDE=90，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则EMC= 度；（2）如图（3），在三角板DEF运动过