二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法 第一课时 涵水小学王儒钦 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x m 2 k 二次函数关系式的常见形式 一般式 顶点式 交点式 也叫两根式 二次函数的几种解析式及求法 二次函数解析式 平移式 推导两根式 二次函数是初中代数的重要内容之一 也是历年中考的重点 这部分知识命题形式比较灵活 既有填空题 选择题 又有解答题 而且常与方程 几何 三角等综合在一起 出现在压轴题之中 因此 熟练掌握二次函数的相关知识 会灵活运用一般式 顶点式 两根式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键 一 二次函数常用的几种解析式的确定 已知抛物线上三点的坐标 通常选择一般式 已知抛物线上顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴 选择交点式 1 一般式 2 顶点式 3 两根式 4 平移式 将抛物线平移 函数解析式中发生变化的只有顶点坐标 可将原函数用顶点式表示 再根据 左加右减 上加下减 的法则 即可得出所求新函数的解析式 二 求二次函数解析式的思想方法 1 求二次函数解析式的常用方法 2 求二次函数解析式的常用思想 3 二次函数解析式的最终形式 待定系数法 配方法 数形结合等 转化思想解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解 最后结果都化为一般式 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法一 一般式 设解析式为 顶点C 1 4 对称轴x 1 A 1 0 关于x 1对称 B 3 0 A 1 0 B 3 0 和C 1 4 在抛物线上 即 三 应用举例 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法二 顶点式 设解析式为 顶点C 1 4 又 A 1 0 在抛物线上 a 1 即 h 1 k 4 三 应用举例 解法三 两根式 设解析式为 抛物线与x轴的两个交点坐标为A 1 0 B 3 0 y a x 1 x 3 又C 1 4 在抛物线上 4 a 1 1 1 3 a 1 y x 1 x 3 即 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 三 应用举例 评析 本题可采用一般式 顶点式和交点式求解 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便 同时也培养学生一题多思 一题多解的能力 从不同角度进行思维开放 解题方法开放的培养 注重解题技巧的养成训练 可事半功倍 2015年中考数学命题趋势 贴近学生生活 联系实际 把实际问题转化为数学模型 培养学生分析问题 解决问题的能力 增强学以致用的意识 例2 已知 如图 是某一抛物线形拱形桥 拱桥底面宽度OB是12米 当水位是2米时 测得水面宽度AC是8米 1 求拱桥所在抛物线的解析式 2 当水位是2 5米时 高1 4米的船能否通过拱桥 请说明理由 不考虑船的宽度 船的高度指船在水面上的高度 三 应用举例 即 E F a 0 1 解 1 由图可知 四边形ACBO是等腰梯形 过A C作OB的垂线 垂足为E F点 OE BF 12 8 2 2 O 0 0 B 12 0 A 2 2 设解析式为 又 A 2 2 点在图像上 三 应用举例 例2 已知 如图 是某一抛物线形拱形桥 拱桥底面宽度OB是12米 当水位是2米时 测得水面宽度AC是8米 1 求拱桥所在抛物线的解析式 2 当水位是2 5米时 高1 4米的船能否通过拱桥 请说明理由 不考虑船的宽度 船的高度指船在水面上的高度 P Q 2 分析 船能否通过 只要看船在拱桥正中间时 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标 y 水位 船高 2 5 1 4 3 9 3 6 解 顶点 6 3 6 当水位为2 5米时 船不能通过拱桥 PQ是对称轴 复习二次函数四种平移关系 例3 已知二次函数与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 点 0 1 在图像上 求其解析式 解 设所求的解析式为 抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 1 0 又 点 0 1 在图像上 a 1 即 四 尝试练习 五 小结 1 二次函数常用解析式 已知图象上三点坐标 通常选择一般式 已知图象的顶点坐标 对称轴或最值 通常选择顶点式 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1 x2 通常选择交点式 3 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点 恰当地选择