1.1简单旋转体

立体几何初步 第一章 1简单几何体1 1简单旋转体 第一章 新华网西昌2010年1月17日电 1月17日0时12分 中国在西昌卫星发射中心用 长征三号 运载火箭发射第三颗北斗导航卫星 这是中国今年的首次卫星发射 也是长征系列运载火箭的第122次飞行 众所周知 要发射卫星必须要有大推力的运载火箭 那么运载火箭什么模样 如图 这是某种大推力运载火箭的发射图 从图中我们可以看出 承载人类航空航天梦想的高科技航天器并没有华丽的外表 整个箭体是由圆锥 圆台 圆柱 这些几何体数学上叫旋转体 堆叠而成 而就是这种 其貌不扬 的组合体一次又一次地圆了人类的太空梦 因此我们还真不能小瞧了这貌似简单的旋转体 1 旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的 旋转所形成的曲面叫作旋转面 围成的几何体叫作旋转体 一条定直线 封闭的旋转面 圆柱 圆锥 圆台 分别以矩形的一边 直角三角形的一直角边 直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴 其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫 旋转轴叫作它们的轴 在轴上这条边 或它的长度 叫作它们的 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作它们的 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的 无论旋转到什么位置 这条边都叫侧面的 圆柱 圆锥 圆台 高 底面 侧面 母线 2 圆柱 圆锥 圆台的结构特征与性质 全等的圆面 圆面 垂直 垂直于 垂直于 等腰三角形 等腰梯形 全等 矩形 扇形 3 球 1 球和球面 半圆以它的直径为旋转轴 旋转一周所成的曲面叫 球面所围成的几何体叫球体 简称 用集合的观点来描述 到定点的距离等于定长的所有点的集合 轨迹 叫 球面 球 球面 特别提示 球和球面是两个不同的概念 球面仅仅指球的表面 而球 球体 不仅包括球的表面 同时还包括球面所包围的空间 因此 用一个平面去截一个球 截面是圆面 而用一个平面去截一个球面 截面是圆 2 球的截面性质 球心和截面圆心的连线 于截面 球心到截面的距离d与球半径R及截面圆的半径r有如下关系r 如图 垂直 3 球的大圆 小圆及球面距离 球的大圆 小圆球面被经过 的平面截得的圆叫作球的大圆 被不经过 的平面截得的圆叫作球的小圆 把地球看作一个球时 经线是球面上从北极到南极的半个 圆 赤道是一个 圆 其余的纬线都是 圆 球面距离在球面上 两点之间的最短距离 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度 这段弧长叫作两点的 球心 球心 大 大 小 球面距离 1 与下图所示实物图相类似的立体图形按从左到右的顺序依次是 A 球 圆锥 圆柱B 圆锥 圆柱 球C 球 棱柱 棱锥D 圆柱 球 圆台 答案 D 解析 由几何体的结构特征易知选D 2 下列说法中正确的是 A 圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B 圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C 圆柱不是旋转体D 圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的 答案 D 解析 由圆台的定义及结构特征知D正确 3 图甲是由图中哪个平面图旋转得到的 答案 A 解析 该简单组合体为一个圆台和一个圆锥 因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成 B旋转后为两共底的圆锥 C旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体 D旋转后为两圆锥与一圆柱 4 以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周 所形成的旋转体是 答案 圆台 解析 等腰梯形的对称轴将等腰梯形分成两个全等的直角梯形 故旋转后形成圆台 5 边长为4的等边三角形ABC绕 BAC的平分线所在的直线旋转所得圆锥的高h 底面半径r 旋转体的有关概念 思路分析 是根据几何体的旋转轴去判断旋转后的形状 是用平面截几何体 结合条件可根据旋转体的结构特征尝试作出判断 答案 B 规范解答 正确 应以直角梯形的垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转方可得到圆台 用平行于底面的平面去截圆柱 圆锥 圆台 得到的截面才是圆面 用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台 否则得不到 故选B 规律总结 1 准确掌握旋转体的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键 2 解决概念辨析问题应紧扣定义 还要尝试从不同角度入手 特别是从反面入手 举反例 从而更容易找出正确答案 下列说法中正确的是 A 连接圆柱上 下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线B 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体C 圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D 通过圆台侧面上一点 有无数条母线 答案 C 解析 A错 连接圆柱上 下底面圆周上两点的线段不一定与轴平行 B错 当两个平行平面与底面不平行时 截得的几何体不是圆柱体 D错 通过圆台侧面上一点 只有一条母线 C正确 简单旋转体中有关量的计算 规律总结 解决圆柱 圆锥 圆台中有关量的计算问题时 关键是作出轴截面 通过轴截面 在矩形 三角形 梯形中构造直角三角形 利用勾股定理进行计算求解 将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面 求此圆柱的轴截面的面积 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图 规范解答 把圆柱的侧面沿AB剪开 然后展开成为平面图形 矩形 如图所示 连接AB 则AB 即为蚂蚁爬行的最短距离 规律总结 1 解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形 并进行合理的空间想象 2 运用侧面展开图将空间问题转化为平面问题是求解最短距离的常用方法 即 化曲为直 的思想方法的应用 分析 圆柱侧面是曲面 先把曲面展开成平面 然后在平面上求最短距离 答案 B 与球有关的计算问题 思路分析 根据球的截面的性质 球心与截