中考数学复习冲刺提分训练《二次函数》（解析版）

中考数学复习冲刺提分训练： 二次函数1如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H当PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E已知直线ykxk+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，EMN恒为直角三角形2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）（1）求抛物线y+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DFON于点F，点F在线段ON上，当ODDF时，请直接写出点N的坐标3已知抛物线yx2+bx+c，经过点B（4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，抛物线上存在一点E，使ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PMx轴，PNy轴，PM，PN交于点P点M，N运动时，始终保持MN不变，当MNP的两条直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式4如图，在平直坐标系中，次函数yax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，）、B（2，0），其中点A是抛物线yax2+bx+c的顶点，交y轴于点D（1）求次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上动点，若PBABAD，抛物线交x轴于点C求BPC的积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标5如图，抛物线yax2+bx经过点A（2，），与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（1，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且SPBDSBDQ，求满足条件的点P的横坐标6如图，已知直线AB：yx3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线yx22xm与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若BCDBEC，求m值；（3）连接OD，若ODCE，求m值7如图已知直线yx+与抛物线yax2+bx+c相交于A（1，0），B（4，m）两点，抛物线yax2+bx+c交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当QMN与MAD相似时，求N点的坐标8如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求ABP的面积的最大值；（3）如图所示，在对称轴AC的右侧作ACD30交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使CQD60？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由9平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线yax2+x+c与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C，直线ykx+2经过A、C两点（1）如图1，求a、c的值；（2）如图2，点P为抛物线yax2+x+c在第一象限的图象上一点，连接AP、CP，设点P的橫坐标为t，ACP的面积为S，求S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，点D为线段AC上一点，直线OD与直线BC交于点E，点F是直线OD上一点，连接BP、BF、PF、PD，BFBP，FBP90，若OE，求直线PD的解析式10如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线ya（x）（x+）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线DE是抛物线的对称轴，点D在x轴上，点E在抛物线上，直线ykx+过点A、C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限对称轴左侧抛物线上一点，过点P作PQAC交对称轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段QD的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，直线AC与对称轴交于点F，点M在对称轴ED上，连接AM、AE，AMD2EAM，过点A作AGAM交过点D平行于AE的直线于点G，点N是线段BP延长线上一点，连接AN、MM、NF，若四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，且FNAM，求点P的坐标11如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点（1）若直线ymx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式（2）在该抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x1上的一个动点，直接写出使BPC为直角三角形的点P的坐标提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ）12如图1，抛物线yx2+bx+c过点A（4，1），B（0，），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使AQM45？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由13如图，抛物线yx2+4x与x轴交于点A，顶点为B点C在y轴的负半轴，OC2点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧（1）写出点A，B的坐标：A（ ），B（ ）；（2）若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m求S关于m的函数表达式在的条件下，连结PC，满足SPOA2SPOC，求四边形OPAB的面积（3）设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分ODE，求点P的坐标14如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得SABC并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由15如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，3）点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，连接PB、PC得到PBC，问是否存在着这样的点P，使得PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DMAB于点M，DNAC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由参考答案1解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），解得：，b2，c3；（2）抛物线的函数表达式为：yx2+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入ykx+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3，设点P（x，x2+2x+3），则点H（x，x+3），如图1，过点C作CMPH于点M，则CMx，PHx2+3x，当CPCH时，PMMH，MCHMCP，OBOC，OBC45，CMOB，MCHOBC45，PCH90，MCPH（x2+3x），即x（x2+3x），解得：x10（舍去），x21，P（1，4）；如图2，当PCPH时，PHOC，PHCOCB45，CPH90，点P的纵坐标为3，x2+2x+33，解得：x2或x0（舍去），P（2，3）；当CHPH时，如图3，B（3，0），C（0，3），BC3HFOC，解得：x3，P（3，42）综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3，42）（3）函数表达式为：yx2+2x+3（x1）2+4，点E（1，4）；设点M、N的坐标为（x1，y1），（x2，y2），MN2（x1x2）2+（y1y2）2，ME2（x11）2+（y14）2，NE2（x21）2+（y24）2，ME2+NE2（x11）2+（y14）2+（x21）2+（y24）2x12+x222（x1+x2）+2+y12+y228（y1+y2）+32x12+x222x1x2+24+y12+y222y1y2+1848+32（x1x2）2+（y1y2）2，MN2ME2+NE2，MEN90，故EMEN，即：EMN恒为直角三角形2解：（1）将得 得 设 BC：ykx+m得 （2）作PQx轴交BC于Q，连结PC，PB设，当 x2，PQmax2当PQ最大时，SPBC最大此时，P到BC的距离最大P（2，3）（3）由（2）得P（2，3） 直线 得 当N在D的右侧时，如下图DONOBCDONDBOOD2DNBD，当N在D的左侧时，如下图所示，NODOBNONDBNO 设 ON2NDBN得作NGx轴于点G则，综上所述或3解：（1）点B（4，0）和点A（1，0）在抛物线上，解得，yx2+3x4，C（0，4）；（2）当CEAC时，设CE的解析式为ykx4，联立kx4x2+3x4，x0（舍）或xk3，E（k3，k23k4），AC217，EA2（k4）2+（k23k4）2，EC2（k3）2+（k23k）2，AC2+EC2EA2，17+（k3）2+（k23k）2（k4）2+（k23k4）2，解得k，E（，）；当AEAC时，设AE的解析式为ymxm，联立mxmx2+3x4，x1（舍去）或xk4，E（k4，k24k4），AC217，EA2（k5）2+（k24k+4）2，EC2（k4）2+（k24k）2，AC2+EA2EC2，17+（k5）2+（k24k+4）2（k4）2+（k24k）2，解得k，E（，）；（3）设P（s，t），当AP2MP时，MN，MP1，AP2，M（s1，t），N（s，t+2），M、N在抛物线上，（s1）2+3（s1）4t，s2+3s4t+2，s，t，M（，），N（，），MN的直线解析式为y2x；当MP2AP时，MN，MP2，AP1，M（s2，t），N（s，t+1），M、N在抛物线上，（s2）2+3（s2）4t，s2+3s4t+1，s，t，M（，），N（，），MN的解析式为yx；综上所述：MN的解析式为y2x或yx4解：（1）设抛物线解析式为：ya（x1）2，且过点B（2，0），09aa抛物线解析式为：y（x1）2x2x4；（2）yx2x4与x轴交于B，C，交y轴与点D，当x0，y4，即点D（0，4），当y0时，0x2x4，x12，x24，点C（4，0），点A（1，），点D（0，4）直线 AD解析式为：yx4，PBABAD，BPAD，设直线BP解析式为：yx+m，且过点B，0（2）+mm1，直线BP解析式为：yx1，联立方程组可得：，点P（3，）SBPC6（3）如图，过点Q作QGBC于G，过点F作FHGQ于H，设对称轴与BC交于N点，四边形BEFQ是正方形，BEEFBQQF，EBQBQF90，BQG+FQH90，BQG+QBG90，GBQFQH，且FHQBGQ90，BQQF，BGQQFH（AAS）BGQH，FHQG，设点Q（m，m2m4）若点F在对称轴上，FHGQ，1mm2+m+4，m2+（舍去），m2，点Q坐标（2，1），若点E在对称轴上，同理可证：BGQENB，BNGQ，1（2）m2+m+4，m1+（舍去），m1，点Q坐标（1，3），综上所述：点Q坐标为（1，3）或（2，1）5解：（1）将A（2，），B（1，0）代入yax2+bx中，可得，yx2x；（2）如图，设对称轴于BC的交点为E，yx2x与x轴交于A，B两点，0x2x；x11，x23，点C（3，0），对称轴为直线x1，BECE2，BC4，点D在抛物线的对称轴上，BDCD，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，BCBC4，CDCD，BDCD，CE2，点C（1，）BD2DE2+BE2，（2DE）2DE2+4，DE，点D（1，）；（3）如图，设BD交y轴于点F，点B（1，0），点D（1，），直线BD解析式为：yx+，点F（0，），抛物线的解析式为：yx2x与y轴交于点Q，点Q（0，）SBDQ（+）2，若点Q，点P在BD的同侧时，SPBDSBDQ，点P与点Q到直线BD的距离相等，即PQBD，直线PQ解析式为：yx，xx2x，x0，x，点P的横坐标为；若点P与点Q在BD的两侧时，SPBDSBDQ，点P与点Q到直线BD的距离相等，点F（0，），点Q（0，）FQ在y轴上截取HFFQ，过点H作BD的平行线交抛物线于点P和P，HFFQ，点H坐标（0，），直线HP解析式为：yx+，x+x2x，x综上所述：当点P的横坐标为或或时，SPBDSBDQ6解：（1）把yx3代入抛物线yx22xm中，得x23x+3m0，D、E重合，94（3m）4m30，m；（2）yx3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线yx22xm与y轴交于C点，B（0，3），C（0，m），BC3m，解方程组得，BD，BE，BCDBEC，CBDEBC，BCDBEC，即BC2BDBE，解得，m1或3，当m3时，B与C重合，不符合题意，舍去，m1；（3）ODCE，OD2CE2，+，即，解得，m0，或m5，当m0时，无意义，应舍去，m5，7解：（1）将点B（4，m）代入yx+，m，将点A（1，0），B（4，），C（0，）代入yax2+bx+c，解得a，b1，c，函数解析式为yx2x；（2）设P（n，n2n），则经过点P且与直线yx+垂直的直线解析式为y2x+n2+n，直线yx+与其垂线的交点G（n2+n，n2+n+），GP（n2+3n+4），当n时，GP最大，此时PAB的面积最大，P（，），AB，PG，PAB的面积；（3）M（1，2），A（1，0），D（3，0），AM2，AB4，MD2，MAD是等腰直角三角形，QMN与MAD相似，QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2t）如图1，当MQQN时，N（3，0）；如图2，当QNMN时，过点N作NRx轴，过点M作MSRN交于点S，QNMN，QNM90，MNSNMS（AAS）t1t2+t+，t，t1，t，N（，1）；如图3，当QNMQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NSx轴，过点N作NRx轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；QNMQ，MQN90，MQRQNS（AAS），SQQR2，t+21+t2t，t5，N（5，6）；如图4，当MNNQ时，过点M作MRx轴，过点Q作QSx轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；QNMN，MNQ90，MNRNQS（AAS），SQRN，t2tt1，t2，t1，t2+，N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1）8解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），可设抛物线解析式为ya（x3）2+6，将B（0，3）代入可得a，yx2+2x+3；（2）连接PO，BO3，AO3，设P（n，n2+2n+3），SABPSBOP+SAOPSABO，SBPOn，SAPOn2+3n+，SABO，SABPSBOP+SAOPSABOn2+n（n）2+，当x时，SABP的最大值为；（3）存在，设点的坐标为（t，t2+2t+3），过D作对称轴的垂线，垂足为G，则DGt3，CG6（t2+2t+3）t22t+3，ACD30，2DGDC，在RtCGD中，CGDG，（t3）t22t+3，t3+3或t3（舍）D（3+，3），AG3，GD3，连接AD，在RtADG中，AD6，ADAC6，CAD120，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点上，此时，CQDCAD60，设Q（0，m），AQ为圆A的半径，AQ2OA2+QO29+m2，AQ2AC2，9+m236，m3或m3，综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，3）9解：（1）直线ykx+2经过C点，C（0，2），把点B的坐标为（4，0），C（0，2）代入yax2+x+c，得到，解得；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，与直线AC交于点K，分别过点A、点C作PK的垂线，垂足分别为点M、N，yx2+2，A（1，0），直线ykx+2经过A点，k2，y2x+2，P点的横坐标为t，P（t，t2+t+2），K（t，2t+2），PKt2+t，SSAMKSAMPSCPK，St2+t（0t4）；（3）OC2，OB4，tanOBE，如图2：过点O作OHBC于点H，易得OH，BH，OE，由勾股定理得EH，BE，CE，过点E作EGy轴于点G，tanCEGtanOBE，CG，EG，E（，），易得直线OE的解析式y2x，直线AC的解析式为y2x+2，联立直线OE与直线AC的解析式，解得D（，1），过点B作x轴的垂线，与过点P、F作的y轴的垂线分别交于Q、R两点，FBP90，PBQBFR，BPBF，PQBBRF（AAS），BRPQ4t，FRBQt2+t+2，F（t2t+2，t4），设FR交x轴于点I，tanOEG2tanOFI，t42（t2t+2），解得t2或t0（舍），P（2，3），易求直线PD的解析式为yx+10解：（1）直线ykx+与y轴交于点C，C（0，），OC，ya（x）（x+）经过点C，a，y（x）（x+）；（2）y（x）（x+）x2x+，P（t，t2t+），A（，0），B（，0），tanACO，如图1：过点P作PTx轴，PSy轴交DE于点L，PTt2t+，PSt，DE是抛物线的对称轴，D（，0），在矩形PTOS和矩形PTDL中，有DTPLt，设AC交DE于点F，PQAC，DEy轴，PQLAFLACO，tanPQLtanAFLtanACO，QLt，DQDL+QL，dt2t+5；（3）EAM，则AMD2EAM2，AEMEAM，AMEM，DE8，AD4，AMEM5，DM3，DGAE，GDJAEM，ADG90，AMAG，MAG90，DAGAMD2，AGDADG90，AGAD4，tanAFD，DF5，AMGDFA（AAS），AMG与DAF的面积相等，四边形NMGA与四边形NFDA的面积相等，AMN与ANF的面积相等，如图2，过点M作MKAN于点K，过点F作FHAN于点H，MKFH，MKFH，四边形HKMF为平行四边形，ANDE，点N与点A的横坐标相等，AMNF，四边形AMFN为平行四边形，ANMFDFDM2，N（，2），BN的解析式为yx+，x+x2x+，x5或x（舍），P（5，）11解：（1）由题意得：，解得：，抛物线解析式为yx22x+3，对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线ymx+n，得，解得：，直线ymx+n的解析式为yx+3；（2）设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x1代入直线yx+3得，y1+32，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（1，2）；（3）如图，设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC218，PB2（1+3）2+t24+t2，PC2（1）2+（t3）2t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2PC2即：18+4+t2t26t+10解之得：t2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2PB2即：18+t26t+104+t2解之得：t4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2BC2即：4+t2+t26t+1018解之得：t1，t2；综上所述P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1，） 或（1，）12解：（1）将点A（4，1），B（0，）代入抛物线yx2+bx+c，得，解得，yx2x，M点的坐标为（1，4）；（2）设直线AB的表达式为ymx+n，解得，yx；当x1时，y3，N（1，3），MN1；若MN为平行四边形的一边时，则有CDMN，且CDMN，设C（t，t2t），则D（t，t），CDt（t2t）1，t3或t1（舍去），D（3，）；若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t），则C（2t，t），将点C代入抛物线解析式得，（2t）2（2t）t，t1或t1（舍去），D（1，）； 综上所述：符合条件的D点坐标为（3，）或（1，）；（3）在对称轴上取点P（1，1），PAPM3，APM90，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，AQMAPM45，作PEy轴交于点E，PE1，PQ3，EQ2，Q点坐标为（0，1+2）或（0，12）13解：（1）yx2+4x，令y0，则x0或4，故点A（4，0），函数的对称轴为：x2，则点B（2，4），故答案为：4，0，2，4；（2）SOA（yByP）4（4+m24m）2m28m+8；SPOAOA（yP）2SPOCOCxP，即：yPxP，则m2+4mm，解得：m0或4+（舍去0），故m4+，则S2m28m+812+8；（3）方法一：过点C作CHBE于点H，过点C作CGOP于点G，DC平分ODE，则CGCH2，而OC2，故三角形CGO是等腰直角三角形，所以两种情况，直线OP是一三象限角平分线或者是二四象限角平分线，直线OP的表达式为：yx，联立并解得：x5或3，故点P的坐标为：（5，5）或（3，3）方法二：DC平分ODE，则CGCH2，设点P的坐标为：（m，m2+4m），则直线OP的表达式为：y（4m）x，则直线CG的表达式为：yx2，联立OP、CG的函数表达式并解得：点G，则CG22+22CH24，解得：m5或3，故点P的坐标为：（5，5）或（3，3）14解：（1）N与M图象下方的部分关于x轴对称，N所在函数解析式为yx2+2x+3； （2）令x22x30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），曲线N交y轴于点C，C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O，则O为ABC的外接圆，RtBOC为等腰直角三角形，OOOHOH1，HB2，OB，OB是ABC外接圆的半径，ABC外接圆的面积5；（3）当P点