江西省2010届高三第二轮复习数学专题二：三角函数与平面向量

用心 爱心 专心 江西省江西省 20102010 届高三第二轮复习数学专题二届高三第二轮复习数学专题二 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 近几年高考三角题型趋于稳定 多属基础题 常规题 难度适中 但由于三 角函数除了具有一般函数的各种性质外 它的周期性和独特的对称性 加上系统 丰富的三角公式 使其产生的各种问题丰富多彩 层次分明 变化多端 向量的 基础知识 数量积是考查重点 运用向量的工具作用 与其他知识相结合进行综 合考查 以中低档题为主 典例分析典例分析 题型一 三角函数式的化简 求值题型一 三角函数式的化简 求值 1 已知ABC 中 C BA sin 2 tan 则C D A 6 B 4 C 3 D 2 2 在 ABC 中 若 sinA cosBcosC 则 tanC tanB 的值为 A A 1 B 1 C 2 D 2 3 已知 1 0 tan 2 222 且 5 sin 13 1 分别求cos 与cos 的值 2 求 tan 的值 解 1 0 2 1 tan 22 且0 24 2 cos 25 1 sin 25 2 3 cos2cos1 25 4 sin 5 又 5 sin 13 3 22 12 cos 13 16 coscos cos cos 65 2 16 cos 65 2 2 1663 sin1 6565 63 tan 16 又 4 sin 5 3 cos 5 4 tan 3 463 tantan253 316 tan 463 1tantan204 1 316 用心 爱心 专心 题型二 三角函数图像 性质题型二 三角函数图像 性质 4 理 设 cossinf xxx 把 f x的图象按向量 0 0 amm 平移后 图象恰 好为函数 yfx 的图象 则 m 的值可以为 D A 4 B 3 4 C D 2 文 设 cossinf xxx 把 f x的图象按向量 0 0 amm 平移后 图象恰好为函数 sincosf xxx 的图象 则 m 的值可以为 D A 4 B 3 4 C D 2 5 已知 2 0 sin xxf满足 2 1 0 2 fxfxf 则 cos xxg在区间 0 2 上的最大值和最小值之和为 C A 2 1 B 2 3 1 C 1 2 3 D 2 1 6 已知函数 4 sin x xf 如果存在实数 1 x 2 x 使得对任意的实数x 都有 21 xfxfxf 则 21 xx 的最小值是 B A 8 B 4 C 2 D 7 理 设函数 其中 则导数的 取值范围是 D A B C D 8 若将函数 tan0 4 yx 的图像向右平移 6 个单位长度后 与函数 tan 6 yx 的图像重合 则 的最小值为 D A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 9 理 当时10 x 不等式kx x 2 sin 成立 则实数k的取值范围是 答案 k 1 10 本小题满分 12 分 已知锐角 ABC 三个内角为 A B C 向量 用心 爱心 专心 22sin cossinpAAA 与向量 sincos 1sinqAAA 是共线向量 求角 A 求函数 2 3 2sincos 2 CB yB 的最大值 解 p q 共线 22sin1 sincossincossinAAAAAA 2 3 sin 4 A 又A为锐角 所以 3 sin 2 A 3 A 2 3 2sincos 2 CB yB 2 3 3 2sincos 2 BB B 2 2sincos 2 3 BB 13 1 cos2cos2sin2 22 BBB 31 sin2cos21 22 BB sin 2 1 6 B 5 0 2 2666 BB 2 623 BB 时 max 2y 11 已知定义在区间 3 2 上的函数 xfy 的图象关于直线 6 x对称 当 22 0 0 sin 3 2 6 AxAxfx函数时的图象如图 1 求函数 3 2 在xfy上的表达式 2 求方程 2 3 xf的解 解 1 由图象可知 A 1 22 0 有 3 2 26 解之得 3 1 3 sin 3 2 6 xxfx时 用心 爱心 专心 由 6 xxfy关于直线对称 可求得当 sin 6 xxfx 时 综上 3 2 6 3 sin 6 sin xx xx xf 2 因为 3 2 6 2 3 则在区间xf上有 3 2 333 xx或 3 0 21 xx又 6 xxfy关于对称 3 2 3 43 xx也是方程的解 3 0 3 3 2 2 3 xxf的解为 题型三 解三角形题型三 解三角形 12 已知如图 ABC 的外接圆的圆心为O 2 3 7ABACBC 则AO BC 等于 B A 3 2 B 5 2 C 2D 3 13 已知 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三个点 动点 P 满足 0 sin sin CAC AC BAB AB OAOP则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的 A 重心B 垂心 C 内心D 外心 14 本小题满分 12 分 已知锐角三角形ABC 内角 A B C 对应边分别为 a b c 222 3 tan acb bc A 求 A 的大小 求CBcoscos 的取值范围 由余弦定理知 Abcacbcos2 222 2 3 sin cos2 3 tan A A A 2 0 A 3 A ABC 为锐角三角形且 3 2 CB A B C O 用心 爱心 专心 23 2 6 CB 3 2 cos coscoscosBBCB BBBsin 3 2 sincos 3 2 coscos BBsin 2 3 cos 2 1 6 sin B 3 2 63 B 1 6 sin 2 3 B 即CBcoscos 的取值范围是 1 2 3 15 已知ABC 的内角 A B C 所对边分别为 a b c 设向量 2 cos cos 1 BA BAm 2 cos 8 5 BA n 且 8 9 nm 求BA tantan 的值 求 222 sin cba Cab 的最大值 解 由 8 9 nm 得 8 9 2 cos cos 1 8 5 2 BA BA 即 8 9 2 cos 1 cos 1 8 5 BA BA 也即 cos 5 cos 4BABA BABABABAsinsin5coscos5sinsin4coscos4 BABAcoscossinsin9 9 1 tantan BA c cab cab cba cab tan 2 1 cos2 sinsin 222 tan tan 16 9 tantan1 tantan 2 1 tan 2 1 BA BA BA BA 8 3 tantan2 16 9 BA 222 sin cba cab 的最大值为 8 3 用心 爱心 专心 16 本小题 12 分 已知ABC 中 1 AC 0 120 ABC BAC 记 BCABf 1 求 f关于 的表达式 2 求 f的值域 解 1 由正弦定理有 60sin 120sin 1 sin 00 ABBC sin 120sin 1 0 BC 0 0 120sin 60sin AB BCABf 2 1 60sin sin 3 4 0 sin sin 2 1 cos 2 3 3 2 3 0 6 1 6 2sin 3 1 2 由 6 5 6 2 63 0 1 6 2sin 2 1 分 f 6 1 0 17 在 ABC 中 AB 3 AC 边上的中线 5 5 ABACBD 1 求 AC 的长 2 求 2sin BA 的值 解 1 2 3 5ADACABACAB 2 2 2 5 DBABDABDABDA ABAD 2 22 2 DBABADABDA 2 1 ACAD 2 由 1 得 6 11 sin 6 5 cos 2 5 AAABAD 120 用心 爱心 专心 3 cos2 222 BC AACABACABBCABC中在 在 9 34 cos 9 33 sin 11 36 sin 2 sinsin BB BA BC B AC ABC中 BABAA BABABA sin sin21 coscossin2 sin2coscos2sin 2sin 2 162 3313 9 33 36 11 21 9 34 6 5 6 11 2 题型四 综合题型四 综合 18 在ABC 中 已知9 sincossin 6 ABC AB ACBAC S P为线段AB上的一 点 且 11 CACB CPxy xyCACB 则的最小值为 C A 7 6 B 7 12 C 73 123 D 73 63 19 如图 半圆的直径6AB O为圆心 C为半圆 上不同于A B 的任意一点 若P为半径OC上的动点 则 PAPBPC 的最小值是 9 2 20 如图所示 在 OAB 中 OA OB OC OB 设 a OA b 若 则实数 的值为 B OB AC AB A B a a a a b b a a b b a a a a b b a a b b 2 C D a a2 b b2 a a b b a a2 b b2 a a b b 2 21 已知a b是不共线的ABab AC ab R 则A B C 三点 共线的充要条件是 D A 1 B 1 C 1 D 1 22 已知5 AC 8 AB DBAD 11 5 0 ABCD O P C BA 第 14 题图 A B C O a b 用心 爱心 专心 1 求 ACAB 2 设 BAC 且已知 cos x 4 5 4 x 求 sinx 解 1 由已知 DBADDBDADBAB 11 16 2 11 2 5 16 5 16 5 11 5 16 11 DBABADABDBADABDB 0 ABCD CD AB 在 Rt BCD 中 BC2 BD2 CD2 又 CD2 AC2 AD2 所以 BC2 BD2 AC2 AD2 49 所以7 BCACAB 2 在 ABC 中 2 1 cos BAC 3 5 4 3 cos cos xx 5 3 3 sin x 而 1233 2 4 xx 如果 123 0 x 则 5 3 2 1 6 sin 12 sin 3 sin x 5 3 3 sin x 10 343 3 3 sin sin xx 23 在ABC 中 已知CABACABsincossin 9 又ABC 的面积等于 6 高考资源网 求ABC 的三边之长 高考资源网 设p是ABC 含边界 内一点 p到三边ABBC C A的距离分别为 123 ddd 求 123 ddd 的取值范围 设三角形三内角 A B C 对应的三边分别为 a b c sincossinBAC sin cos sin B A C 由正弦定理有cos b A c 又由余弦定理有 222 cos 2 bca A bc 222 2 bbca cbc 即 222 abc 所以ABC 为 RtABC 且90C 又 2 6sin 2 1 1 9cos AACABS AACABACAB ABC 1 2 得 4 tan 3 a A b 令a 4k b 3k k 0 则16 2 1 kabS ABC 三边长分别为 3 4 5 以C为坐标原点 射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系 则A B坐标为 3 0 0 4 直线AB方程为43120 xy 用心 爱心 专心 设P点坐标为 x y 则由P到三边AB BC AB的距离为d1 d2和d3可知 123 4312 5 xy dddxy 且 0 0 43120 x y xy 故123 212 5 xy ddd 令2mxy 由线性规划知识可知 0 m 8 故d1 d2 d3的取值范围是 12 4 5 24 在 OAB 的边 OA OB 上分别有一点 P Q 已知 OP PA 1 2 OQ QB 3 2 连 结 AQ BP 设它们交于点 R 若OA a OB b 用 a 与 b 表示OR 过 R 作 RH AB 垂足为 H 若 a 1 b 2 a 与 b 的夹角 3 2 3 BA BH 求 的范围 解 1 由OA a 点 P 在边 OA 上且 OP PA 1 2 可得 2 1 OP a OP 3 1 OPa 同理可得 5 2 OQb 设 RBPBRAQAR 则AQOAAROAOR a 5 3 b a 1 a 5 3 b BPOBBROBOR b 3 1 a b 3 1 a 1 b 向量 a 与 b 不共线 2 1 6 5 1 5 3 3 1 1 解得 6 1 ORa 2 1 b 2 设 BA BH 则 BABH a b OBORBHBRBHRH a b 6 1 a 2 1 b b 6 1 a 2 1 b BARH 0 BARH 即 6 1 a 2 1 b a b 0 用心 爱心 专心 6 1 a2 2 1 b2 2 3 2 a b 0 又 a 1 b 2 a b a b cos2cos 0 cos2 2 3 2 2 1 4 6 1 2 cos45 3 6 1 cos45 cos813 6 1 3 2 3 2 1 2 1 cos 5 4 7 3 cos 来源 高考资源网 2 1 42 17 2 3 3 6 1 2 7 3 6 1 即 故 BA BH 的取值范围是 2 1 42 17 题型五 三角函数应用题型五 三角函数应用 25 如图 某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运 动赛道 赛道的前一部分为曲线段 OSM 该曲线段为函数 y Asin x A 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为 S 3 23 赛道的后一部分为折线段 MNP 为保证参赛 运动员的安全 限定 MNP 120 o I 求 A 的值和 M P 两点间的距离 II 应如何设计 才能使折线段赛道 MNP 最长 本小题主要考查三角函数的图象与性质 解三角形等基础知识 考查运算求解能力以及应用 数学知识分析和解决实际问题的能力 考查化归与转化思想 数形结合思想 解法一 依题意 有2 3A 3 4 T 又 2 T 6 2 3sin 6 yx 当 4x 是 2 2 3sin3 3 y 4 3 M 又 8 3 p 22 435MP 在 MNP 中 MNP 120 MP 5 设 PMN 则 0 60 由正弦定理得 00 sinsin120sin 60 MPNPMN 10 3 sin 3 NP 0 10 3 sin 60 3 MN 故 0 10 310 310 3 13 sinsin 60 sincos 33323 NPMN 用心 爱心 专心 0 10 3 sin 60 3 0 60 当 30 时 折线段赛道 MNP 最长 亦即 将 PMN 设计为 30 时 折线段道 MNP 最长 解法二 同解法一 在 MNP 中 MNP 120 MP 5 由余弦定理得 22 2cosMNNPMN NP AA MNP 2 MP 即 22 25MNNPMN NP A 故 22 25 2 MNNP MNNPMN NP A 从而 2 3 25 4 MNNP 即 10 3 3 MNNP 当且仅当MNNP 时 折线段道 M