程守珠普通物理学六版电子教案9-5

9 5磁场的能量 在回路系统中通以电流时 由于各回路的自感和相许互之间的互感的作用 回路中的电流要经历一个从零到稳定值的过程 在这个过程中 电源必须提供能量来克服自感电动势及互感电动势而作功 使电能转化为载流回路的能量和回路电流之间的相互作用能 也就是磁场能 下面以图示电路为例进行讨论 设电路接通后回路中某瞬时的电流为 自感电动势为 由欧姆定律得 下面以图示电路为例进行讨论 在自感和电流无关的情况下 是时间内电源提供的部分能量转化为消耗在电阻上的焦耳 楞次热 是回路中建立电流的暂态过程中电源电动势克服自感电动势所作的功 这部分功转化为载流回路的能量 这部分能量也是储存在磁场中的能量 当回路中的电流达到稳定值后 断开 并同时接通 这时回路中的电流按指数规律衰减 此电流通过电阻时 放出的焦耳 楞次热为 磁能 这说明随着电流衰减引起的磁场消失 原来储存在磁场中的能量又反馈到回路中以热能的形式全部释放出来 也说明磁场具有能量的推断是正确的 因此磁场能量可表示为 磁能密度 对于一个很长的内部充满磁导率为 的直螺线管 上式是从直螺线管的均匀磁场的特例导出的 对于一般情况的均匀磁场 磁场能量密度可以表示为 总磁能 对于非均匀磁场 可见 如能按照上式右面积分先求出电流回路的磁场能量 根据上式也可求出回路的自感 这是计算自感的一种重要方法 见例9 11 例9 11一根很长的同轴电缆由半径为R1的圆柱体和半径为R2的同心圆柱壳组成 电缆中央的导体上载有稳定电流I 再经外层导体返回形成闭合回路 试计算 1 长为l的一段电缆内的磁场中所储藏的能量 2 该段电缆的自感 解 1 由安培环路定理可知 在内外导体间的区域内距轴线为r处的磁感应强度为 电缆外磁感应强度为零 所以 磁能储藏在两个导体之间的空间内 距轴线为r处的磁能密度为 距轴线为r到r dr处的磁能为 对上式积分可得储藏在内外导体之间的磁能为 2 与 1 所求结果比较即可得 上面所得结果是假定高频电流在芯线表面流过 圆柱状的芯线作为圆筒处理 筒内磁场为零 对于恒定电流 电流分布在整个芯线导体截面内 导体截面内磁场不为零 这种情况下求解如下 圆柱形芯线导体内的磁场为 圆柱形芯线导体内的磁能密度为 圆柱形芯线导体内的磁能为 总磁能 例9 12用通过在两个线圈中建立电流的过程计算储存在线圈周围空间磁场的方法 证明两个线圈的互感相等 即M1 M2 解 设刚开始时两个线圈都是断路 先接通1 使其电流由零增加到I10 其中磁能为 线圈1的自感 1接通后 再接通2 使其电流由零增加到I20 其中磁能为 线圈2的自感 由于在线圈2接通并逐渐增大电流的同时在线圈1中有互感电动势的产生 为保持线圈1中电流I10不变 线圈1中的电源必须克服互感电动势作功 因而出现附加磁能 互感电动势大小为 线圈2对1的互感 所以附加磁能为 因此在两线圈组成的系统中 当线圈1的电流为I10线圈2的电流为I20时 系统所具有的磁能应为 同理 也可以先在线圈2中建立电流为I20 然后在线圈1中建立电流为I10时 重做上述讨论 可以得到相应的关系 线圈1对2的互感 系统能量与建立电流的先后次序无关 所以 令 则两个线圈总磁能的公式可表示为 由于附加磁能可能为负值 所以 一般公式应写成 选择进入下一节 9 0教学基本要求 9 1电磁感应定律 9