概率统计教案2.doc

第二章 随机变量及其分布一.教学内容:随机变量及其概率分布，随机变量的分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，常见随机变量的概率分布，随机变量的函数的概率分布.二.教学重点:理解随机变量及其概率分布的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相关的事件的概率.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握分布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系. 掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用.2.1 随机变量1.设随机试验的样本空间为. 是定义在样本空间上的实值单值函数，称为随机变量.2.2 离散型随机变量及其分布1.如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布律: 或 ， .3.离散型随机变量的性质:， .例1.袋中有个乒乓球，编号分别为. 从中任取球，用表示取出的三个球的最大号码，写出随机变量的分布列.解: 4.()分布: . 或， .例2.抛掷一枚硬币，用随机变量表示出现正面，表示出现反面，求的分布率.解: .5.设试验只有两个可能结果: 及，则称为伯努利试验. 设 ，.6.将伯努利试验独立地重复进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验.7.在重伯努利试验中，发生的次数用随机变量表示，则.8.记，如果，则称服从参数为，的二项分布，记为.9.例3.某人对一目标连续射击次，每次击中的概率都是. 设各次射击彼此独立，求:恰有次击中的概率.击中次的概率.至少击中次的概率. 解: 设用表示击中的次数，则.练习1.院子里有个鼠洞，其中有一个通往厨房. 现有只老鼠独立且随机地进入鼠洞，求恰有只老鼠进入厨房的概率. 解: 设用表示进入厨房的老鼠个数，则.10.设随机变量所有可能取的值为，而取各个值的概率为 ，其中是常数，则称服从参数为的泊松分布，记为.11.2.3 随机变量的分布函数1.设是一个随机变量，是任意实数，函数或 称为的分布函数.2.落在任一区间上的概率.3.分布函数的基本性质:是一个不减的函数.，且，.，即是右连续的.例1.离散型随机变量的分布列为 求:的分布函数.，.解: . .练习2.某人带10把样子相同的钥匙，其中只有一把能开锁，现用这些钥匙去试开，在下列情况下，求试开次数的分布律.无放回.有放回. 解: . 练习3.你有5枚硬币，我有6枚硬币，你、我将硬币全抛掷之后进行比较，求我抛出的正面比你抛出的正面多的概率. 解: 设我抛出的正面多于你抛出的正面，我抛出的反面多于你抛出的反面，则我抛出的正面少于或等于你抛出的正面.由于每个人各自抛出的正面与反面的可能性相同，所以. 由于，所以.练习4.有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率. 解: 设三个孩子中有一女孩，三个孩子中至少有一男孩，则三个孩子中有一女孩、有一男孩，三个孩子全是男孩，三个孩子全是女孩. ， .2.4连续型随机变量及其概率密度1.设是随机变量的分布函数. 如果存在非负可积函数，对于任意实数，都有 ，则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数，简称密度函数.2.概率密度的性质: . . . (为任意实数). 若在点处连续，则有 .例1.已知连续型随机变量的密度函数为 求:常数.的分布函数.解: 一方面 ，另一方面，所以，得.3.设连续型随机变量具有概率密度则称在区间上服从均匀分布. 记为.4.设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称服从参数为的指数分布.5.设连续型随机变量的概率密度为 ，其中， 为常数，则称服从参数为，的正态分布. 记为.6.正态分布密度函数的性质: 曲线关于对称. 当时取到最大值. 在处曲线有拐点. 如果固定，改变的值，则图形沿轴平移，而不改变形状. 如果固定，当越小时图形变得越尖；当越大时图形变得越凸.7.当，时，称服从标准正态分布. 记为， 其密度函数和分布函数分别为，.8.重要结论:.9.若，则. 证: ，令，得.由于的分布函数是，所以 .10.若，则的分布函数:，且.例1. 设，求: . .解: .11.设，若满足条件 ，则称点为标准正态分布的上分位点. 另外. 例如.由于，所以，.2.5 随机变量的函数的分布例1.设随机变量的分布律为: 求:的分布律.的分布律.解: . .例2.设随机变量的密度函数求下列随机变量的密度函数: . . 解: 方法一: ， 方法二:， 方法一:， 方法二:，例3.设随机变量的密度函数为，求的密度函数.解: 当时，.当时， ，. 综上所述，1.设，则的密度函数为称服从自由度为的分布.2.设，则 .第二章小结 本章定义了随机变量，要知道它取哪一些值以及以怎样的概率取这些值. 从这个角度讲，分布函数完整地描述了随机变量. 离散型随机变量与连续型随机变量是最重要的两类随机变量，由于它们的取值范围不同，因此对它们的描述及处理方法都有很大