正弦量与相量法的基本概念

1 第20讲正弦量与相量法的基本概念 学习重点 1 正弦量三要素的概念 周期 频率与角频率的关系 2 相位差及其物理含义 3 正弦量的有效值及其物理含义 4 振幅相量 有效值相量的概念 5 正弦量的相量运算 2 一 正弦量 电路中凡是按正弦 余弦 规律随时间作周期变化的电压或电流称为正弦电压或正弦电流 统称为正弦量 它可以用正弦函数表示 也可以用余弦函数表示 本课程用余弦函数表示 即u Umcos t u i Imcos t i 1 Um Im 正弦量的振幅 是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值 2 t u 和 t i 相位角或相位 它反映了正弦量变化的进程 3 u i 称为正弦电压 电流 的初相角 简称初相 它是正弦量t 0时刻的相角 3 与 有关的参量 周期 T T 2 2 T 1KHZ 103HZ1MHZ 106HZ1GHZ 109HZ 我国工业用电的频率为50HZ 在工程实际中 常以频率的大小作为区分电路的标志 如高频电路 低频电路等 频率 ff 1 T 2 f 频率的单位 HZ 赫兹 其它常用单位 4 正弦电压与电流 5 1 正弦量的三要素 i t Imsin wt 1 幅值 amplitude 振幅 最大值 Im 2 角频率 angularfrequency w 3 初相位 initialphaseangle 正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的主要依据 6 初相角的单位为弧度 rad 或度 通常在 u或 i 的主值范围内取值 初相角的大小与计时起点有关 因本课程用余弦函数表示正弦量 因而用最大值发生的时刻与t 0时相比较 如果正弦量的正最大值发生在计时起点 t 0 之前 则 u i 0 如图 a 所示 如发生在计时起点之后 则 u 或 i 0 如图 c 所示 如果正最大值恰发生在t 0处 则 u 或 i 0 如图 b 所示 7 2 同频率正弦量的相位差 设u t Umsin wt u i t Imsin wt i 相位差 wt u wt i u i 0 u领先 超前 i 或i落后 滞后 u 0 i领先 超前 u 或u落后 滞后 i 8 0 同相 180o 反相 规定 180 特殊相位关系 90 正交u领先i90 或i落后u90 不说u落后i270 或i领先u270 9 3 正弦量的有效值 1 定义 上式表明 周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根 周期量的有效值又称为均方根值 2 物理意义 有效值是一个在效应上 如电流的热电效应 与周期量在一个周期内的平均效应相等的直流量 10 W2 I2RT 物理意义 电压有效值 注意 工程上一般所说的正弦电压 电流的大小都是指有效值 交流测量仪表的读数 电气设备铭牌上的额定值都是有效值 11 3 正弦电流 电压的有效值 设i t Imcos t 注意 只适用正弦量 同理 关系 即 正弦量的有效值与最大值之间有固定的 12 1 复数F表示形式 1 复数及运算 二 相量法的基本概念 F a jbF F ej F F F cos jsin 欧拉公式 13 j j 1都可以看成旋转因子 3 旋转因子 复数F1 ej cos jsin 1 F2 Fej 2 复数运算 F1 F2 a1 a2 j b1 b2 a 加减运算 直角坐标 b 乘除运算 极坐标 F1 F2 Fej ej ej 称为旋转因子 14 2 正弦量的相量表示 复函数 若对A t 取实部 A t 包含了三要素 I w复常数包含了I A t 还可以写成 称为正弦量i t 对应的有效值相量 15 正弦量的有效值相量表示 以正弦量的有效值作为相量的模正弦量的初相位作为相量的幅角 已知 例1 试用有效值相量表示i u 解 振幅相量 16 3 相量图 例2 试写出电流的瞬时值表达式 解 错误的写法 17 4 相量运算 1 同频率正弦量相加减 得 18 2 正弦量的微分 积分运算 例 已知 求 解 19 小结 相量法只适用于激励为同频正弦量的线性时不变电路 相量法可以用来求强迫响应是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 20 解 21 22 例2如图所示电路 已知R 2 L 1H 激励uS t 8cos t V 2rad s 求电流i t 的稳态响应 解 列KVL方程为 当激励uS为正弦量时 方程的特解是与uS同频率的正弦量 设 代入微分方程得 23 24 可见 采用