3一类三角形的面积比问题.doc

一类三角形的面积比问题定理 在中，点满足R且，则，当共线时，约定；当共线时，约定；当共线时，约定证明 以射线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系(如图1所示).图1设，得又设，由得，所以若，得，因为，所以，得再由，得，所以，这与题设矛盾！所以，得又因为，所以同理，有所以.定理获证注 有很多文献(比如文献1)也研究了以上定理的结论，但都限定了R推论1 若点在内，则0推论2 (1)若点是的重心，则0；(2)若点是的内心，则0(其中)；(3)若点是锐角的外心，则0；(4)若点是锐角的垂心，则0证明 (1)在中，设射线AG交BC于点D.由点是的重心，得，所以.同理，可得.再由推论1，立得欲证结论成立.(2)可设的内切圆的半径是r，得再由推论1，立得欲证结论成立.(3)可设的外接圆的半径是R，得再由推论1，立得欲证结论成立.(4)如图2所示，设，得同理，有所以，再由推论1可得欲证图2 下面举例说明以上诸结论的应用.题1 (2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题)设为内一点，且，则与的面积之比为( )A. B. C. D.解 A.可得0，由定理得与的面积之比为题2 (2008年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛暨2008年吉林省高中数学竞赛试题第3题)已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的( )A.AB边上中线的中点 B.AB边上中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点解 B.由题设及推论2(1)，可得所以选B.题3 (2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第5题)如图3所示，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于( )A. B. C. D.图3解 A.可得0，再由定理可得答案.题4 (2004年全国高中数学联赛第一试第4题)设点在的内部，且有0，则的面积与的面积的比为( )A.2 B. C.3 D.解 C.由定理可得的面积与的面积的比为.题5 (2012年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第14题)设为内一点，且，则的面积与的面积比为.解 .可得0，再由定理1(3)可得答案.题6 (2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第4题)已知点在内部，且，记的面积为，的面积为，则的值为.解 2.可得0，再由定理可得答案.题7 (2012年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第7题)已知在所在平面内一点，满足，则与的面积之比为.解 2:1.可得0，再由定理可得答案. 题8 (2011年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题(高二年级)第1题)已知是所在平面上一点，满足，则与的面积之比为.解 .可得0，再由定理可得答案. 题9 设是的垂心，.若，则.解 .可求得，所以是锐角三角形.由，得0由推论2(4)，可得题10 (2008年南京大学自主招生试题第3题)设是内任意一点，证明：0(显然，该题就是推论1)题11 在所在的平面上求一点，使取最小值.解 设的重心为点G，由推论2(1)，可得 所以当且仅当点是的重心G时，取最小值.题12 在中，.若M是的内切圆上的任意一点，试判断是否为定值？并说明理由.解 设的半径为r，由推论2(2)，可得 由题设可知，均为定值，所以为定值.题13 在中，成递增的等差数列，点G，I分别为的重心和内心，求证：.证明 设为所在平面上的任一点，由推论2(1)可得0 再由推论2(2)，得0 再由，得所以所以.题14 已知的外接圆的半径是R，内切圆的半径是r，求证：.证明 设