2017届高考一轮复习讲义2.3函数的单调性(教师).doc

东海县高考文化补习学校2017届高考一轮复习讲义 第二章 函数与基本初等函数23 函数的单调性一要点集结1.单调性的概念如果函数yf(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x10，解得x5，即函数f(x)log2(x24x5)的定义域为(，1)(5，)，根据外函数为单调增函数，而内函数ux24x5(x2)29在(5，)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，).3. 若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_解析令g(x)x2ax3a，由题知g(x)在2，)上是增函数，且g(2)0.40的解集为(0,1)，可知a1.5证明：f(x)x在(，1)上是增函数证明设x1，x2是(，1)内的任意两个不相等的负实数，且x10，yf(x2)f(x1)，x1x210.x1x210，yf(x2)f(x1)0.所以f(x)x在(，1)上是增函数二考点探究考点1.函数单调性的判定例1.已知函数f(x)=loga(3x2-2ax)在区间,1上是减函数,求实数a的取值范围.解:当0a1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间,1上是减函数,则,解得0a1时,若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间,1上是减函数,则,无解.故实数a的取值范围0a0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时x的取值范围解析(1)当a0，b0时，设任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12 x2)b(3 x13 x2)2 x10a(2 x12 x2)0, 3 x10b(3 x13 x2)0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0时，函数f(x)在R上是减函数(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0，当a0时，()x，则xlog1.5()；当a0，b0时，()x，则x0时,f(x)0.证明：(1)任取定义域(，)内x1、x2且x1x2，则x2x10，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(,)上单调递减(2)f(1)=，2f(1)+f(1)+f(1)f(3)，由已知得f(x2x) +f(3x)2= f(3)f(x2x+3x)f(3)又f(x)在R上递减，x2x+3x3,x2+2x303x1.原不等式的解集为x|3x1 变式：定义在R上的函数yf(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(ab)f(a)f(b)(1)证明：f(0)1；(2)证明：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2xx2)1，求x的取值范围解析(1)令ab0，则f(0)f 2(0)又f(0)0，f(0)1.(2)当x0，f(0)f(xx)f(x)f(x)1.f(x)0.又x0时f(x)10，xR时，恒有f(x)0.(3)设x10.f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)x2x10，f(x2x1)1.又f(x1)0，f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x)是R上的增函数(4)由f(x)f(2xx2)1，f(0)1得f(3xx2)f(0)又f(x)是R上的增函数，3xx20.0x3.考点3.函数单调性的应用例3. 已知函数求单调区间 若对任意，恒成立，求的范围。解：f(x)=x|x-a|+2x=当xa, f(x)=x2+(2-a)x对称轴x=当xa, f(x)=-x2+(2-a)x对称轴x=当a即4a即2a4时，f(x)增区间为（, ）和（a,+）减区间为(,a)对任意x1,2，f(x)2x+1恒成立等价于：任意x1,2，|x-a|即：x-ax+又y= x-在1,2上递增，y= x+在1,2上递减af(a),则实数a的取值范围是 .解析f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(,)上是单调递增函数,由f(2a2)f(a)得2a2a,即a2a20,解得2a1,函数f(x)的单调减区间为.3. 若函数f(x)(m1)x2mx3 (xR)是偶函数,则f(x)的单调减区间是_解析f(x)是偶函数,f(x)f(x),(m1)x2mx3(m1)x2mx3,m0.这时f(x)x23,单调减区间为0,). 4. 函数f(x)(xR)的图象如右图所示,则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_解析：0a0.4a4.答案：40)在(,)上是单调增函数,则实数a的取值范围_解析：f(x)x(a0)在(,)上为增函数,0a.答案：(0,7. 已知函数f(x)满足对任意x1x2,都有0成立,则a的取值范围是_解析：由题意知,f(x)为减函数,所以解得00,a1)在区间(0,)内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为_解析：令2x2x,当x(0,)时,(0,1),而此时f(x)0恒成立,0a0,即x0或x1,即a2或a-2时,若f(x)log(a2-3)(ax+4)在1,1上是单调增函数,则 解得2a4.当0a2-31,即-2a-或a2时,若f(x)log(a2-3)(ax+4)在1,1上是单调增函数,则 解得-2a-.综上所述：2a4或-2a0且f(x)在(1,)内单调递减,求a的取值范围(1)证明任设x1x20,x1x20,f(x1)f(x2),f(x)在(,2)内单调递增(2)解任设1x10,x2x10,要使f(x1)f(x2)0,只需(x1a)(x2a)0恒成立,a1.综上所述知01时,f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1,解不等式f(|x|)0,代入得f(1)f(x1)f(x1)0,故f(1)0.(2)任取x1,x2(0,),且x1x2,则1,由于当x1时,f(x)0,所以f()0,即f(x1)f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,)上是单调递减函数(3)由f()f(x1)f(x2)得f()f(9)f(3),而f(3)1,所以f(9)2.由于函数f(x)在区间(0,)上是单调递减函数,由f(|x|)9,x9或x9或x912. 已知：f(x)log3,x(0,),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0,1上是减函数,(2)在1,)上是增函数,(3)f(x)的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由解：f(x)在(0,1上是减函数,1,)上是增函数,x1时,f(x)最小,log31.即ab2.设0x1x21,则