计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质

第四章偏微分方程的性质BehaviorofPartialDifferentialEquations Slide1 超音速钝体绕流问题的解决 Slide2 方程的精确解 含义 以常速度c向右传播 波形 振幅保持不变 3 常用 特例 常系数线性单波方程 偏微方程的分类及特征 基本概念 椭圆型 双曲型 抛物型方程 1 一阶偏微分方程 初值 u x t 0 u x t t0 t 0时刻与t t0时刻物理量的分布 t x t t1 t t2 t t3 x ct const 重要概念 特征线 自变量空间的一条曲线 该曲线上物理量的方程可简化 c 0扰动波向右传播 左端 A 需要给定边界条件 右端 B 只能被动接受 无法给定边界条件 即使给定 对计算域也无任何影响 且造成B端的非适定性 c 0扰动波向左传播 右端 B 需要给定边界条件 左端 A 无需给定 线性单波方程的边界条件 对于初值问题 如果微分方程解的定解域中存在 唯一 且连续依赖于初始值 则称数学问题的提法是适定的 4 有限空间 重要基本概念 需掌握 初值 问题 如何给定边界条件 一般形式 一阶线性偏微方程 采用特征线法 可转化为常微分方程 考虑曲线G 显然 沿着该曲线G有 如果该曲线G满足 则有 偏微方程在特征线上变成了常微分方程 特征线 特征相容关系 特征线上物理量的简化方程 5 x y 特征线简化了方程 在空气动力学领域应用广泛 CopyrightbyLiXinliang 6 演示 如何利用特征线计算物理量 特征线 特征相容关系 计算域 x y 步骤 1 设定积分步长 根据精度需求设定 例如0 1 2 在边界上选取初始点 由边界条件确定该点的物理量值3 根据特征线及特征相容关系数值积分 求出特征线下一个点的坐标和函数值 递推下去 计算出整条特征线的 离散 坐标及物理量的 离散 值 4 在边界上选取新的点 重复步骤3 计算出整个计算域物理量的分布 特征线法是空气动力学重要的计算方法 早期 计算机出现之前 是主要的CFD手工计算方法之一 2 一阶常系数偏微方程组 如果矩阵A可以被对角化 令 有 即 m个方程完全解耦 可独立求解 有m条特征线 m个特征相容关系式 如果矩阵A能够 相似变换 对角化 则原方程是双曲型的 7 如果矩阵A具有m个实特征值 这些特征值共具有m个线性无关的特征向量 则称为双曲型方程 一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系 常微分方程 等价 如果A的特征值为m重根 而且对应的独立特征向量数小于m 则称为抛物型方程 如果其A的特征值均为复数 则称为椭圆型方程组合情况 双曲 椭圆型双曲 抛物型 8 3 高阶偏微方程 可转化为一阶方程组 原方程化为一阶方程组 转化为一阶偏微方程组 矩阵 特征方程 3 有两个互异实根 矩阵A可对角化 双曲型 特征方程 3 有两个相同实根 且无法对角化 抛物型 特征方程 3 无实根 椭圆型 9 4 讨论Euler方程组 将矩阵A对角化 一维非定常Euler方程转化为三个单波方程 扰动波分别以速度传播 一维非定常流动 10 推导 守恒变量 质量密度 动量密度 能量密度 好性质 齐次函数 5 双曲型方程组边界条件提法 变换成为了彼此独立的n个单波方程 方法 独立给定j个方程的边界条件如果lj 0 则在左端给定vj的边界条件如果lj 0 则在右端给定vj的边界条件 特点 左 右边界总共给定n个边界条件 各自的个数视特征值的符号确定 可推广到一般的双曲型方程组 11 2 一维Euler方程 对于左边界 12 知识点 5 椭圆型方程 Laplace方程 13 椭圆型方程边界条件的提法 第1类边界条件 Dirichlet问题 第2类边界条件 Neumann问题 第3类边界条件 Robin问题 14 特点 全部边界均需提供边界条件 与双曲方程不同 原因 椭圆型方程的扰动 全局传播 全部边界的信息都会影响到内点 拟线性偏微分方程的分类 Slide16 Slide17 Slide18 双曲型偏微分方程的特征线法 Slide19 4 1偏微分方程的性质 Slide20 对于二次曲线方程 或二阶偏微分方程 双曲型方程 抛物线型方程 椭圆形方程 4 2偏微分方程组的分类 Slide21 偏微分方程组同样具有三种不同分类 双曲型 抛物型 椭圆型判别方法 克莱默法则 特征值法 4 3特征值法 Slide22 取偏微分方程组 定义 则方程组可写为 的特征值为实数 双曲型 为复数 椭圆形 特征根既有实数 又有复数 则为混合型 4 3特征值法 例 Slide23 取二维可压缩无旋定常流动控制方程组 其中 或 求逆矩阵 4 3特征值法 例 Slide24 M 1 特征根为实数 方程组为双曲型 M 1 特征根为 或一个实特征值 方程组为抛物线 M 1 特征根为虚数 方程组为椭圆型 4 4不同类型偏微分方程的性质 Slide25 不同类型的方程具有不同的数学特性 反映出流场的不同物理特性 因而在进行求解时 也必须采用不同的数值方法 Slide26 4 4 1双曲型方程 1 沿y轴上的信息已知 边界条件 2 P点的信息扰动 向下游沿两条特征线传递 并影响两条特征线之间区域 I 内的信息 3 特征线反向延伸 与y轴交于a b P点信息依赖于a b P之间的信息 称依赖区域 4 边界线上的c点下游特征线及其间区域对P点无影响 因而 P点的流场特性仅仅依赖于区域III内的流场参数 由此 可以通过 推进 方法 将边界线上 y轴 的信息逐步向下游 x方向 推进 以求解流场 Slide27 4 4 1双曲型方程 例 定常无粘超音速流动假设流动 1 绕流孤立翼型2 绕流可以有攻角 但不产生脱体激波 同时不存在局部跨音速流动上述流动满足定常Euler方程 双曲型则 翼型上游ab线上的流场信息 可理解为无穷远来流 可逐步向下游传递 推进求解 对于三维定常无粘超音速流动 方式相同 Slide28 4 4 1双曲型方程 例 非定常无粘流动 对于时间t 无论流动亚音或超音 方程皆为双曲型 对于一维非定常动 P点参数决定于a b区域内的初值信息 t 0 而P点信息则可以影响其下游两特征线之间区域内的流场参数 对于二维非定常流动 方式相同 例子如 一维管道内的波运动 绕二维振荡翼型的二维非定常流动 1D 2D Slide29 4 4 2抛物型方程 1 只有一个特征值2 P点的参数对其下游整个区域都有影响 3 P点同样受其上游整个区域内任意位置的参数影响 4 同样适合以 推进 方法求解 Slide30 4 4 2抛物型方程 例 1 定常边界层流动 2 抛物化 粘性流动 N S方程中流向导数 如下式所列 很小 可忽略 则简化为PNS 抛物型NS方程 不适合存在分离的粘性流动 因流向导数的粘性项被忽略了 Slide31 4 4 2抛物型方程 例 3 非定常热传导假设流体的温度梯度是速度的函数 无附加的体积热 且内能e cvT K const 一维情况 热扩散率 Slide32 4 4 3椭圆型方程 1 特征线为虚数 故与特征线有关的解法