高等数学函数的微分教学ppt课件.ppt

第二章导数与微分 第一节导数的概念 第二节导数的计算 第三节函数的微分 1 第三节函数的微分 本节主要内容 2 3 一 微分的概念 引例 一块正方形金属片受热后其边长x由x0变到x0 x 考查此薄片的面积A的改变情况 因为A x2 所以金属片面积的改变量为 A x0 x 2 x0 2 2x0 x x 2 A 2x0 x 4 定义2 3 1若函数y f x 的增量 y可表示为 y f x0 x f x0 A x x x 0 其中A与 x无关 则称y f x 在x0可微 且称A x为f x 在x0的微分 记作即 y f x 在点x0可微 y A x o x 即dy A x 5 定理2 3 1函数y f x 在x0可微的充要条件是y f x 在x0可导 当y f x 在x0可微时 有 通常把自变量的增量 x称为自变量的微分 记做dx 则函数y f x 的微分可记做dy f x0 dx 从而有 6 例1求函数y 3x2在x 1处 x分别为0 1和0 01的增量与微分 解 7 二 微分的几何意义 如图所示 PN dx NM y NT PNtan f x dx 所以dy NT 即函数y f x 的微分dy 就是曲线y f x 在点P处切线的纵坐标的增量 而 y就是曲线y f x 的纵坐标的增量 P M 8 三 微分的基本公式及运算法则 d xm mxm 1dxd sinx cosxdxd cosx sinxdxd tanx sec2xdxd cotx csc2xdxd secx secxtanxdxd cscx cscxcotxdxd ax axlnadxd ex exdx xm mxm 1 sinx cosx cosx sinx tanx sec2x cotx csc2x secx secxtanx cscx cscxcotx ax axlna ex ex 微分公式 导数公式 9 微分公式 导数公式 10 微分的四则运算 u v u v Cu Cu u v u v uv 11 例2求y x2arctanx的微分 解 12 例3求函数y lnx x的微分 解 13 1 若u是自变量 dy f u du 复合函数的微分法则 结论 一阶微分形式的不变性 设函数y f u 有导数f u 2 若u是中间变量 可以令u j x 即y f j x dy y xdx f u j x dx 14 例4求y sin23x的微分 解 15 例5求的微分 解 16 例6求的微分 解 17 例7 参数方程求导法则 设参数方程中x t y t 对t可导 且x t 0 求 解 18 四 微分的近似计算 当函数y f x 在点x0处的导数f x0 0 且 Dx 很小时 我们有 Dy dy f x0 Dx 若令x x0 Dx 即Dx x x0 那么又有 dy f x0 Dx f x0 Dx f x0 f x0 Dx f x f x0 f x0 Dx 特别当x0 0时 有f x f 0 f 0 x 用来求函数增量的近似值 用来求函数值的近似值 求函数在x 0附近的近似值 19 常用近似公式 20 例8求的近似值 令f x sinx 取辅助函数 找邻近于x 30 30 的一点x0 代入公式f x f x0 f x0 x 取x0 30 则 x 30 f