天津市河西区2016年高考理科数学一模试卷含答案解析

天津市河西区 2016 年高考数学一模试卷（理科） （解析版） 一、选择题：每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数若复数 z 满足（ 2 5i） =29，则 z=（ ） A 2 5i B 2+5i C 2 5i D 2+5i 2已知 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+y 的最 大值是（ ） A 1 B 2 C 5 D 1 3如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ） A 12 B 24 C 48 D 120 4 “ ”是函数 “y=最小正周期为 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ，则 B=（ ） A B C D 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍若抛物线 p 0）的焦点到双曲线 渐近线的距离为 2，则抛物 线 方程为（ ） A y B y C y D 6y 7已知函 f（ x）在 R 上是单调函数，且满足对任意 x R，都有 ff（ x） 2x=3，若则 f（ 3）的值是（ ） A 3 B 7 C 9 D 12 8如图所示，在 ， B，点 F 在线段 ，设 = ， = ， +y ，则 的最小值为（ ） A B C 6+4 D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9设全集 U=R，集合 A=x|1， B=x|2x 0，则 A（ = 10某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 11已知直线 x+y 6=0 与抛物线 y= x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从域内任取一点 M（ x， y），则点 M 取自阴影部分的概率为 12在平面直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 ，（ 为参数）以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为若直线 l 与圆 C 相切，则实数 a= 13如图，以 为直径的圆与 两边分别交于 E， F 两点， 0，则 14已知 f（ x） =|1|+x2+（ 0， 2）上有两个零点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 （ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求函数 f（ x）的取值范围 16在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共 10 个，其中红球 4 个，白球 3 个，蓝球3 个现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球重复以上操作，最多取 3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球求： （ ）最多取两次就结束的概率； （ ）整个过程中恰好取到 2 个白球的概率； （ ）设取球的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 17如图，在四棱锥 P ， 平面 B=，四边形 足，点 M 为 点，点 E 为 上的动点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）是否存在实数 ，使得二面角 P B 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由 18已知等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ， 2=10，2b2= （ ）求数列 项公式； （ ）令 ，设数列 前 n 项和 19已知 别是椭圆 =1（ a b 0）的左右焦点， B 是椭圆的上顶点， ，过点 A 垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C （ 1）若点 C 坐标为 ，且 | ，求椭圆的方程； （ 2）若 椭圆的离心率 20已知函数 f（ x） =a 0）， g（ x） =f（ x）的图象与 x 轴异于原点的交点M 处的切线为 g（ x 1）与 x 轴的交点 N 处的切线为 且 行 （ 1）求 f（ 2）的值； （ 2）已知实数 t R，求 =x 1， e的取值范围及函数 y=fx） +t， x 1， e的最小值； （ 3）令 F（ x） =g（ x） +g（ x），给定 （ 1， +）， 于两个大于 1 的正数 ， ，存在实数 m 满足： = 1 m） =（ 1 m） x1+且使得不等式 |F（ ） F（ ） | |F（ f（ |恒成立，求实数 m 的取值范围 2016 年天津市河西区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数若复数 z 满足（ 2 5i） =29，则 z=（ ） A 2 5i B 2+5i C 2 5i D 2+5i 【分析】 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由（ 2 5i） =29，得 =2+5i 故选： A 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 2已知 x， y 满足约束条件 ，则 z= 2x+y 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 5 D 1 【分析】 首先画出平面区域， z= 2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值 【解答】 解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由 得到 A（ 1， 1）， 所以 z 的最大值为 2 1+1= 1； 故选： A 【点评】 本题考查了简单线性规划，画出平面 区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键 3如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 值为（ ） A 12 B 24 C 48 D 120 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=6 时不满足条件 n 5，退出循环，输出 S 的值为 120 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=1， S=1 满足条件 n 5， S=1， n=2 满足条件 n 5， S=2， n=3 满足条件 n 5， S=6， n=4 满足条件 n 5， S=24， n=5 满足条件 n 5， S=120， n=6 不满足条件 n 5，退出循环，输出 S 的值为 120 故选： D 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确理解循环结构的功能和会使用判断框中的条件判断何时跳出循环结构是解题的关键，属于基础题 4 “ ”是函数 “y=最小正周期为 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 先证充分性：把 a= 代入函数解析式，利用二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，找出 的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期为 ，成立；再研究必要性，把函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，由周期为 求出 的值为 或 ，故必要性不一定成立，从而得到前者是后者的充分不必要条件 【解答】 解：函数 y= =|4a|， T= =，即 a= ，故不必要； 当 a= 时， y= =2， T=，故充分， 则 “a= ”是 “函数 y=最小正周期为 ”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题考查三角函数的周期性及其求法，用到的知识有二倍角的余弦函数公式，函数的周期公式， 以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，把函数解析式化为一个角的三角函数是求函数周期的关键 5已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ，则 B=（ ） A B C D 【分析】 已知等式右边利用正弦定理 化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出 得出的关系式代入求出 值，即可确定出 B 的度数 【解答】 解：已知等式利用正弦定理化简得： = ，即 b2= a2+b2= = ， B 为三角形的内角， B= 故选： C 【点评】 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键 6已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍若抛物线 p 0）的焦点到双曲线 渐近线的距离为 2，则抛物线 方程为（ ） A y B y C y D 6y 【分析】 利用双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍，推出 a， 出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出 p，即可得到抛物线的方程 【解答】 解： 双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距是实轴长的 2 倍， c=2a，即 =4， ， 双曲 线的一条渐近线方程为： 抛物线 p 0）的焦点（ 0， ）到双曲线 渐近线的距离为 2， 2= ， ， p=8 抛物线 方程为 6y 故选： D 【点评】 本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力 7已知函 f（ x）在 R 上是单调函数，且满足对任意 x R，都有 ff（ x） 2x=3，若则 f（ 3）的值是（ ） A 3 B 7 C 9 D 12 【分析】 由已知函数的关系式可先求出 f（ 1），然后结合函数的单调性可求 f（ x），进而可求 【解答】 解：令 f（ x） 2x=t 可得 f（ x） =t+2x f（ t） =t+2t 由函数的性质可知，函数 f（ t）在 R 上单调递增 f（ 1） =1+2=3 ff（ x） 2x=3=f（ 1） f（ x） =1+2x f（ 3） =9 故 选 C 【点评】 本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题的关键 是赋值及函数的单调性的灵活应用 8如图所示，在 ， B，点 F 在线段 ，设 = ， = ， +y ，则 的最小值为（ ） A B C 6+4 D 【分析】 用 表示 ， 由 C， D， F 三点共线得出 x， y 的关系，消去 y，得到关于 x 的函数 f（ x），利用导数求出 f（ x）的最小值 【解答】 解： =2x y C， F， D 三点共线， 2x+y=1即 y=1 2x由图可知 x 0 = = 令 f（ x） = ，得 f（ x） = ， 令 f（ x） =0 得 x= 或 x= （舍） 当 0 x 时， f（ x） 0，当 x 时， f（ x） 0 当 x= 时， f（ x）取得最小值 f（ ） = =3+2 故选 D 【点评】 本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在题中横线上 9设全集 U=R，集合 A=x|1， B=x|2x 0，则 A（ = 0， 1） 【分析】 求出集合 A， B，利用集合的基本运算即可得到结论 【解答】 解：集合 A=x|1=（ 1， 1）， B=x|2x 0=（ ， 0） （ 2， +）， 即 0， 2， 故 A（ =0， 1） 故答案为： 0， 1） 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，求出集合 A， B 的元素是解决本题的关键，比较基础 10某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【分析】 由三视图知该几何体是从四棱锥 P 挖去了一个半圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知该几何体的直观图为： 即从四棱锥 P 挖去了一个半圆锥所得的组合体， 四棱锥 P 面是边长为 2 的正方形、高为 2， 圆锥底面圆的半径是 1、高为 2，顶点是 P， 所求的体积 V= = ， 故答案为： 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 11已知直线 x+y 6=0 与抛物线 y= x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从域内任取一点 M（ x， y），则点 M 取自阴影部分的概率为 【分析】 欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率 【解答】 解：由定积分可求得阴影部分的面积为 S=0226（ 6 x） = ， 又 面积为： 所以 p= = 故答案为： 【点评】 本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 12在平面直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 ，（ 为参数）以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为若直线 l 与圆 C 相 切，则实数 a= 1 【分析】 圆 C 的参数方程为 ，（ 为参数），利用 即可化为普通方程直线 l 的极坐标方程为 ，展开可得： （ = ，把 x=y=入即可化为直角坐标方程 再利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：圆 C 的参数方程为 ，（ 为参数）， 化为普通方程：（ x a） 2+ 直线 l 的极坐标方程为 ， 展开可得： （ = ，可得直角坐标方程： x y+1=0 直线 l 与圆 C 相切， =1，解得 a= 1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数基本关系式、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 13如图，以 为直径的圆与 两边分别交于 E， F 两点， 0，则 2 【分析】 由圆 的内接四边形性质定理，结合三角相似的判定定理可以证得， 我们可以找到 已知长度的 之间的比例等于两个相似三角形的相似比，故求出相似比是解决本题关键，由 0及 直径，我们不难求出相似比代入求解即可 【解答】 证明：如图，连接 圆的直径， 0 又 0 圆内接四边形性质易得： 由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的） 又因为 C= C 又 【点评】 本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质，其中 30所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键点，当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解 14已知 f（ x） =|1|+x2+（ 0， 2）上有两个零点，则实数 k 的取值范围是 （ 1，） 【分析】 由题意设 g（ x） =|1|+h（ x） = x 的范围化简 g（ x），在同一个直角坐标系中画出函数 g（ x）和 h（ x）的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可 【解答】 解：由题意设 g（ x） =|1|+h（ x） = 则 g（ x） =|1|+， 在同一个直角坐标系中画出函数 g（ x）和 h（ x）的图象如图， 当直线 h（ x）处在两条虚线之间时，函数 g（ x）和 h（ x）的图象由 两个交点， 把点（ 2， 7）和（ 1， 1）代入求出 k= 、 k=1， 所以 f（ x） =|1|+x2+（ 0， 2）上有两个零点时， 实数 k 的取值范围是（ 1， ）， 故答案为：（ 1， ） 【点评】 本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合 性强 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知函数 （ 0）的最小正周期为 （ ）求 的值及函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）当 时，求函数 f（ x）的取值范围 【分析】 （ ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数 f（ x）的解析式为 ，由此求得它的最小正周期令 ，求得 x 的范围，即可得到函数 f（ x）的单调递增区间 （ ）因为 ，根据正弦函数的定义域和值域求得函数 f（ x）的取值范围 【解答】 解：（ ） = （ 4 分） 因为 f（ x）最小正周期为 ，所以 =2 （ 6 分） 所以 由 ， k Z，得 所以函数 f（ x）的单调递增区间为 ， k Z （ 8 分） （ ）因为 ，所以 ， （ 10 分） 所以 （ 12 分） 所以函数 f（ x）在 上的取值范围是 （ 13 分） 【点评】 本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 16在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共 10 个，其中红球 4 个，白球 3 个，蓝球3 个现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球重复以上操作，最多取 3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球求： （ ）最多取两次就结束的概率； （ ）整个过程中恰好 取到 2 个白球的概率； （ ）设取球的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 【分析】 （ ）设取球的次数为 ，最多取两次就结束的概率 （ =1） +P（ =2），由此能求出结果 （ ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，由此能求出恰好取到 2 个白球的概率 （ ）随机变量 X 的取值为 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量 X 的分布列和数学期望 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ）设取球的次数为 ， 则 P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 所以最多取两次就结束的概率 （ =1） +P（ =2） = （ 4 分） （ ）由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝， 所以恰好取到 2 个白球的概率： 3+ = = （ 8 分） （ ）随机变量 X 的取值为 1， 2， 3 （ 9 分） P（ X=1） = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， （ 12 分） 随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 P X 的数学期望是 = （ 13 分） 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意 相互独立事件概率乘法公式的合理运用 17如图，在四棱锥 P ， 平面 B=，四边形 足，点 M 为 点，点 E 为 上的动点，且 （ ）求证： 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）是否存在实数 ，使得二面角 P B 的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由 【分析】 （ ）以 A 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 平面 （ ）求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，利用向量法能证明平面 平面 （ ）求出平面 法向量和平面 法向量，利用向量法能求出 的值 【解答】 证明：（ ）以 A 为原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系， （ 1 分） 由题意得， D（ 0， 2， 0）， C（ 2， 4， 0）， P（ 0， 0， 2）， M（ 1， 2， 1）， A（ 0， 0， 0），B（ 2， 0， 0）， =（ 1， 0， 1），平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， =0， 面 平面 （ 4 分） 解：（ ）设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 2， 1）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， =（ 2， 0， 0）， =（ 2， 4， 0）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， 0， 1）， =0， 平面 平面 （ 8 分） （ ）存在符合条件的 设 E（ 2， t， 0）， P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2， 0）， B（ 2， 0， 0） =（ 0， 2， 2）， =（ 2， t 2， 0）， 设平 面 法向量为 =（ a， b， c）， ，取 b=2，得 =（ 2 t， 2， 2）， 又平面 为 面，其法向量 =（ 0， 0， 1）， 则 二面角 P B 的余弦值为 ， | |=| |= = ， 解得 t=3 或 t=1，进而 =3 或 = （ 13 分） 【点评】 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用本小题对考生的空间想象能力与运算求解能 力有较高要求 18已知等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ， 2=10，2b2= （ ）求数列 项公式； （ ）令 ，设数列 前 n 项和 【分析】 （ ）设数列 公差为 d，数列 公比为 q，由已知利用等差数列和等比数列的性质列出方程组，求出公差和公比，由此能求出数列 项公式 （ ）由 Sn=n（ n+2）， ，由此能求出数列 前 n 项和 【解答】 （ 18）（本小题满分 13 分） （ ）解：设数列 公差为 d，数列 公比为 q， 则由 ， ， 2=10， 2b2= 得 ，解得 d=2， q=2， （ 4 分） n+1， （ 6 分） （ ）解：由（ ）可得， Sn=n（ n+2）， 则 ，即 ， （ 7 分） 当 n 为奇数时， 1 + ） +（ 2+23+25+2n 2） =1 + = ， （ 10 分） 当 n 为偶数时， 1 + ） +（ 2+23+2n 1） =1 + = （ 13 分） 【点评】 本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用 19已知 别是椭 圆 =1（ a b 0）的左右焦点， B 是椭圆的上顶点， ，过点 A 垂直于 x 轴的直线交椭圆于点 C （ 1）若点 C 坐标为 ，且 | ，求椭圆的方程； （ 2）若 椭圆的离心率 【分析】 （ 1）根据椭圆的方程和性质，建立方程关系即可求出 a， b 的值 （ 2）求出 C 的坐标，利用 立斜率之间的关系，解方程即可 求出 e 的值 【解答】 解：（ 1） C 的坐标为（ ， ）， + =1，即 + =9， | ， a2=b2+ ） 2=2，即 ， 则椭圆的方程为 + （ 2）设 c， 0）， c， 0）， B（ 0， b）， 直线 y= x+b，代入椭圆 =1（ a b 0）得 （ + ） =0， 解得 x=0，或 x= ， A（ ， ），且 A， C 关于 x 轴对称， C（ ， ）， 则 = = ， （ ） = 1， 由 b2= = ， 即 e= 【点评 】 本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大 20已知函数 f（ x） =a 0）， g（ x） =f（ x）的图象与 x 轴异于原点的交点M 处的切线为 g（ x 1）与 x 轴的交点 N 处的切线为 且 行 （ 1）求 f（ 2）的值； （ 2）已知实数 t R，求 =x 1， e的取值范围及函数 y=fx） +t， x 1， e的最小值； （ 3）令 F（ x） =g（ x） +g（ x），给定 （ 1， +）， 于两个大于 1 的正数 ， ，存在实数 m 满足： = 1 m） =（ 1 m） x1+且使得不等式 |F（ ） F（ ） | |F（ f（ |恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （ 1）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交